140 Edmund Landau. 



Um zugleich mit dem Satz des § 3 auch etwas Neues zu be- 

 weisen, wende ich mich gleich zum allgemeineren 



Satz: Es sei entweder der lim sup des Ausdrucks 



T=oa 



(81) if(r)-(^riogr+ ' + ;°f " r) 



nicht -\- cc oder der lim inf nicM — oo . Dann ist die Riemannsche 

 Vermutung 



(11) i{s)^QfiM-6>\ 



falsch. 



Vorbemerkung: Im § 3 war angenommen, dass beide Unbe- 

 stimmtheitsgrenzen endlich sind, d. h. dass zugleich der lim sup nicht 



T=oo 



-]- 00 und der lim inf nicht — co ist. Der jetzige Satz besagt also 



mehr. 



Beweis: Nach (3) ist für wurzelfrei wachsendes T 



N 



m~[-^Tlo^T+ ^+y-) r)-la.rce(|+2-.)^Q(l). 



Nach Voraussetzung hat (31) seinen lim sup < + «=> bezw.O seinen 

 lim inf > — oo ; daher hat für wurzelfrei wachsendes T die Funktion 

 2iVct,\-^-\- Ti^ ihren lim sup < oo bezw. ihren lim inf > — oo. 

 Es gibt also ein positives & und ein positives A^ derart, dass für 

 wurzelfreies T >b 



arc^^Y + ^'iW^ibezw. -arog(y-f Ti^<A, 



ist. Für die wurzelfreien Tder Strecke < T <b ist sogar offenbar^) 



arc 



i{} + ^i) 



<A, 



') Um nicht zwei Beweise zu führen, behandle ich gleichzeitig beide Fälle. 

 Die Einfügung des Wortes „bezw." an allen in Betracht kommenden Stellen ver- 

 hindert ein Missverständnis. 



^) In der Tat mögen dem Ordinatenintervall < < ^ ö die Nullstellen 4>i , • • •, p« 

 angehören; dann ist die Funktion 



g'(s) , _1 1 1^ 



t; (S) 's — 1 S — ßi S — ßn 



für Y —'^ = %^ ^^ — b regulär, also beschränkt; für wurzelfreies T des Intervalls 

 0< T^ftist daher 



arc ^(1 + T/) = S/^^ ds + arc S(2 + Tl) 



2+Ti 



beschränkt, da ja n fest ist. 



