Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 141 



Für alle wurzelfreien T>0 ist daher 



(32) arc t, (y + Tij < Ä^ bezw. — arc ^ (y + Ti) < A3 . 



Nun wird (11) angenommen; jede Wurzel mit positiver Ordinate 



1 . 1 



hat also die Gestalt ~ -j-T^ i, und log t, (s) ist für ö > ^ , ^ > regulär. 



Ich verstehe unter arc t, (s) für > — , ^ > den imaginären Teil 



dieses Zweiges log & (s) und^) unter arcn^+^o*) den Limes von 



arc u-^-H- ö --h To 2) bei zu abnehmendem positiven d. Dann ist 



ersichtlich, dass (32) auch für die T = Tq gilt. Denn es ist ja, wenn 

 ein To mit der Vielfachheit v vorliegt, bei zu abnehmendem 

 positiven £ 



limarcS(| + (ro + £)i) = arcg(|+roi)-h^, 



lim arc Ü\-\-{T,-e) i) = arc g (| + r„ i) - -^ , 



£=0 ^^ ' ^^ /- 



also 



(33) arc ^| + T« i) = Jim ^^ ^~ ^^ L . 



(32) gilt also für alle r>0. 



Ich wähle q so, dass q> ist, aber q unterhalb der Ordinate 



der ersten Nullstelle liegt. Dann ist in der Viertelebene ö>— , 



T > q die Funktion log ^ {s) regulär, arc g (.§) stetig ; doch hat 



log t (s) auf dem linken Rande dieser Viertelebene die Nullstellen von 



t (s) mit positiver Ordinate zu logarithmischen Singularitäten ; arc t, (s) 



hat sie also zu Unstetigkeitsstellen. 



Es sei d> gegeben. Dann schneide ich jede jener Singulari- 



j 

 täten (d. h. die Nullstellen Sq ^ -^-\- Tq i mit Tq > 0, mehrfache hier 



natürlich nur als ein geometrischer Punkt berücksichtigt) durch je 

 einen Halbkreis nach rechts (der Sq zum Mittelpunkt hat) derart aus, 

 dass erstens jeder Radius-) r < -^ ist, zweitens die Halbkreise sich 

 nicht treffen, drittens der unterste nicht unter die Ordinate q hinunter- 

 reicht und viertens auf jedem Halbkreis, wenn .s' {== Sq — r i) der 

 untere, s" (=So + ^^) der obere Endpunkt ist, 



(3-1:) arc t, (s) < arc t, (x") + 1 bezw. arc t, (.s) > arc t, (.v') — 1 



') Für wurzelfreies T>- und alle a war arc t (s) schon in der Einleitung,' erklärt, 

 ^j r hängt selbstverständlich von Sq ab. 



