Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. liS". 



Andererseits ist bekanntlich^ für y < (? < 1 -(- (5, wenn ^ durch 



solche Werte wächst, denen keine Nullstelle mit der Ordinate t ent- 

 spricht, gleichmässig 



arc e(«) -^logeC?) = ^J j^t^^i + ^log^H-^^-^^) = 0(logO^ 



l+ü + ti 



Nun ist nach den gemachten Annahmen arc t, (.s) in G stetig, und 

 die für wurzelfrei wachsendes t bekannte Relation (37) gilt daher 

 jetzt überhaupt, wenn s im Innern von O ins Unendliche wächst. 

 Auf dem Rande von G galt (36). 



Jetzt setze ich 



^(•^) = iUs)r' = e-''°''^'^hezw. g (s) --= (^s))^ = i'^'^^^'K 



Diese Funktion g{i) ist in G inkl. Rand regulär; auf dem Rand ist 

 wegen 



I g (,) I = e» ^«^ ^' (•^> bez w. I g (s) | = e" ^ '°^ ^' ^'^ 



nach (36) die Funktion g (s) beschränkt; im Innern ist nach (37) 

 gleichmässig 



^(x) = 0(^^c). 



Nach einem Satze der Herren Phragmen und Lindelöf^) ist also im. 



1 fi 

 ganzen Gebiet g (s) beschränkt. Insbesondere für -^ + ^^ö<l +d,. 



t>q (was dem Gebiete angehört, weil alle Radien < -^ waren) ist?. 

 daher 



^ log t (s) < log A, = A^ bezw. - ^ log ^ (s) < A^. 



1 Ä 

 Also ist für ö > — H- -;^ , i > 1 



^ log t {s) < A, bezw. - ^ log e (s) < A,. 



*) Vergl. S. 372 des Handbuches: die Rie mann sehe Vermutung (11) oder gar 

 eine unbewiesene Annahme über N{T) wird dabei nicht benutzt. (37) ist also wahr 

 und besagt, dass in (3) 



M{T) =0 (log T) 



ist; dies war Herrn von Mangoldts Hauptresultat über N(T). 



^) Vergl. S. 849—850 des Handbuches; dass dort auch der linke Rand gerad- 

 linig ist, ist natürlich für den Beweis ganz unwesentlich. -- 



