^44 Edmund Landau. 



Daraus folgt nach einem bekannten Satze von Herrn Caratheodory^) 

 für ö>-^+ö,/>l 



\\ogUs)\<Ä,o, 

 U (s) I = e^i«§^^^(^)<eli«g-f (^)l < e^io _ ^^^ . 



:also wäre speziell für > 1 , ^ > 1 



U(s)|<.4,2, 



■während Herr Bohr das Gegenteil bewiesen hat. 



Der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz ist da- 

 hHiit bewiesen. 



§ 5. 

 Hilfssatz: Es ist nicht wahr, dass für 6>1 



-|^ = o(loglogO 

 dst. 



Mit anderen Worten : Es gibt eine positive Konstante K derart, 

 ■ dass die Ungleichung 



r(s) 



Us) 



> -^ log log t 



'hei jedem gegebenen x im Gebiet 6>l,t>T eine Lösung besitzt. 



Beweis: Im § 9 der Arbeit von Herrn Bohr und mir ist, wenn 

 ■es dort auch nur auf spezielle Funktionen jener Art angewandt wurde, 

 ..allgemein bewiesen: Bei jeder Dirichletschen Reihe 



2 





.1« ' 



deren Koeffizienten a^ > sind und bei passender Wahl zweier posi- 

 tiven Konstanten a und ß für alle ganzen x^l die Ungleichungen 



X ^ 



-erfüllen, ist, wenn die Reihe bei festem r>l für 6>1,1 <t<t 

 beschränkt ist, in der Halbebene > 1 nicht 



:^^=o (log logt). 



') Vergl. S. 299 — 300 des Handbuches. In jenem Wortlaut ist nur zu setzen: 

 F{s) = — i log ^ (s) bezw. i log ^ (s), s,, == l + 5 + ^ ?:, r -- y + |, 9 = y* ^^"" ^^®^®^"* 

 er die Beschränktheit von | log J (s) | für ^ + ö ^ <j ^ 1 + 5 J ^ |- + -|, also für 



^> 1 + 0,^^1. 



