Zur Theorie der Rieniannschen Zetafunklion. 145 



Wird dies auf 



l->^ ■- = ! + >' 



S(s) ^ P 



ms 



p, m 



angewendet, so erkennt man die Richtigkeit des obigen Hilfssatzes. 



§ 6. 

 Satz: Es habe der Ausdruck 



Nm-{-^Tl0gT^ l + log(2.) y^ 



log log T 



für J" = 00 den Limes oder auch nur seinen lim siip < oder seinen 

 lim inf>0. Dann ist die Riemannsche Vtrmutuug 



(11) ^^•) + 0/)Vö>| 



falsch. 



Beweis: Es sei 



lim sup < bezw. lim inf > 0. 

 Dann ist für wurzelfrei wachsendes T nach (3) 



^vcti^ + Ti) arc&(4 + Ti) 



( 38) lim sup — r-h — Ttr-^ < bezw. lim inf — y-^, — 7f~- > 0. 



^ ^ y=x log log T = T=^ log log T — 



Nun werde (11) als richtig vorausgesetzt und arc ^.s-) im Gebiet 



ö>^,^>0 wie in § 4 definiert. Dann ist nach (33) die Relation 



(38) sogar für stetig wachsendes T giltig. 



Es mögen 8 und y zwei willkürlich gegebene positive Konstanten 

 bezeichnen. Nach (38) ist für alle hinreichend grossen T 



arc ^ (y 4- ri) < y log log T bezw. — arc l[\+T i) < y log log T, 

 d.h. für alle r>0 

 arc e (l" H- r ^) < y log log (T + 2) + c, bezw. 



- arc ^ (-|- + r i) < y log log (r + 2) + c„ 



wo Cy eine passend wählbare Konstante ist. 



Ich wähle q wie in § 4. Es war 5>0 schon vorhin gegeben. 

 Ich wähle die r = r {s^ und konstruiere das Gebiet G wie in § 4. 



Dann ist nach (34) auf dem linken Rand von G (wenn /' < y berück- 

 sichtigt wird) 



Vferteljabrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. J.ihrß. 5C. 1011 10 



