Zur Theorie der Riemailnscheil Zetafuiiktion. l47 



im Innern von G 



Nach dem Phragmen- Li ndelöf sehen Satz ist also im Innern 

 -J0JJ = /, (.,) == (1), 



also wegen 



9^ log log .s' = log I log .>^ I -: log (log t + (1)) = log log t-\-0{l) 



log \(j{s)\<y log log i 4- (1), 



( ^ log e (s) < y log log f + (1) bezw. 



^ M. -^log^s)<yloglog/+0(l). 



(39) gilt in G, also speziell im Streifen -^-\--^<g<1-\-ö, folglich 



1 Ä 1 Ä 



in der Halbebene ö> — + — • Für ö> — + -,^>3 ist daher 



(40) ^ log e (s-) < y log log t + Cg bezw. — ^ log e (s) < y log log f + Cg. 



Nun wende ich den Caratheodoryschen Satz auf die Funktion 

 — i log t, {s) bezw. i log ^ (s) und die beiden Kreise mit dem Mittelpunkt 



1 + d + ^z, wo ^>-^ + -^ ist, und den beiden Radien r—^-h-^ 



1 ri 



und (? = -:^-|-x ^^' Dann ist nach (40) auf dem horizontalen linken 

 Radius des kleineren Kreises, d. h. auf der geraden Strecke von 

 -^ -{- -r- d -\- t i h\3 l -{- d -}- t i für t>-^-\--^ 



I log t (s) \<\ogt (1 + ö) + log £ (1 + ö) 



4 



-f- 2 (y log log (^ -h I + 1) + Co) ^-^ < l(i±^ log log ^ + r.o. 



Folglich ist in der Viertelebene ö > ^ + ^ ö, ^ > 3 

 (41) \logt{s)\<^^^^^log\ogt-^c,,. 



