Aus der Geomelrie des endlichen und des uuendlicli-diinensiunalen Raumes. 151 



(4) \a,. — a['P\ < 8 für jedes v, wenn /• > E, ist. 



Wollen wir diesen Satz umkehren, so tritt uns ein erster wesent- 

 licher Unterschied zwischen Vektoren mit endlich vielen 

 Koordinaten und solchen mit unendlich vielen entgegen, 

 indem die Gleichung (3) nur im endlich-dimensionalen Raum eine 

 notwendige Folge von Gleichung (4) ist. Ist z. B. A'^\ A'^\ • - ■ 

 eine Vektorenfolge, wo der Vektor .4''' die Koordinaten 



, ,.j I —^ für V ^r 



^>' — \]r 



hat, so konvergieren diese offenbar mit wachsendem r gleichmässig 

 nach den Koordinaten des Nullvektors Q, während die Entfernungen 

 von .4!'' zu Q entgegen Gleichung (2) für jedes r 



|A")- Ql =V^(-^)'>aist, wo« 



die kleinste unter den von Null verschieden vorausgesetzten Zahlen 

 a,. bedeutet. 



Eine weitere charakteristische Eigenschaft des unendlich dimen- 

 sionalen Raumes, die wir hier erwähnen wollen, ergibt sich aus der 

 Betrachtung der „linearen Räume". 



Ist eine Vektorenmenge gegeben, so versteht man unter dem 

 „linearen Raum" dieser Menge als Basis: die Gesamtheit der Vek- 

 toren, welche aus endlichen Teilmengen linear-homogen abge- 

 leitet werden können samt den Häufungsvektoren der so erhaltenen 

 Menge. Lässt sich der so definierte Raum aus einer endlichen Anzahl 

 von Vektoren ableiten, so nennen wir ihn endlich-, andernfalls un- 

 endlich-dimensional. Für jeden endlich-dimensionalen Raum 

 gibt es eine für ihn charakteristische Anzahl (Dimensionszahl) von 

 unter sich unabhängigen Vektoren, aus denen er abgeleitet werden 

 kann.') So sind z. B. die Gerade durch einen, die Ebene durch zwei, 

 und der stereometrische Raum durch drei unter sich unabhängige 

 Vektoren bestimmt. 



Bilden die unter sich unabhängigen Vektoren A^, Ä2. - • • Äs die 

 Basis des ,'?-dimensionalen Raumes 2{„, so hat nach der Definition 

 jeder Vektor A von 21, die Form 



(5) ^ = 2:«,.^,, 



i = 1 



') Dissert. d. Verf. p. 30. 



