152 Paul Nabholz, 



welche Gleichung an Stelle der n Gleichungen 



s 



(5') ciy = 2J «i «i, für V = 1, 2, • ■ • >^ 



gesetzt ist. 



Ist im besondern s = 2 und n = 3, so bilden die beiden Vektoren 

 A^ und ^2 ^^^ beiden aneinanderstossenden Seiten des Parallelo- 

 gramms, welches den Vektor A zur Diagonale hat. Für s = 3 

 können ebenso J.i, A, und A^. die drei von einer Ecke eines Parallele- 

 pipeds ausgehenden Kanten gedeutet werden, in welchem A die 

 Körperdiagonale ist. 



Auch in dem Falle, wo A ein Grenzvektor von 2t^. ist, kann er als 

 eine solche Diagonale eines s-dimensionalen Parallelepipeds, d. h. in 

 der Form (5) dargestellt werden. Ist nämlich 



A =- lim A"-\ 



s 



so hat jeder Vektor A*'' nach Definition die Form J.''' = E «'•"' A-,, wo 



/ = i 



Ai (i = 1, 2 • • • s wieder die s Basisvektoren bedeuten. Da s endlich 

 ist, so wird 



^ = lim Sa^'P Ai = Ia,Ai, 



r =x(x> i = l i = l 



wo «, für lim «'<'' gesetzt ist, welcher wegen (5') und (4) existiert. 

 Diese Verhältnisse gestalten sich nun im unendlich-dimen- 

 sionalen Raum wesentlich mannigfaltiger. Ist die Basis eine abzähl- 

 bare, unter sich absolut unabhängige Vektorenmenge, so zerfällt 

 der zugehörige unendlich-dimensionale Raum immer in zwei eindeutig 

 bestimmte Teile, den „innern Raum", als die Gesamtheit der Vek- 

 toren, welcher aus einer endlichen Teilmenge der Basis abge- 

 leitet werden können, und den „Grenzraum", als die Gesamtheit 

 der Vektoren, die nur als Häufungsvektoren des „innern Raumes" 

 dargestellt werden können. Es ist nun dem Grenzraum eigen, dass 

 seine Vektoren im allgemeinen nicht mehr als Diagonalen des 

 von den Basisvektoren A,^, A^ • • • gebideten Parallelepipedons, 

 d. h. in der Form 



(5) A = Ia,A, 



2=1 



dargestellt werden können. Sie haben vielmehr die kompliziertere 

 Form 



(6) A = \im iaVA,-, 



r = cc / = 1 



>velche aber immer in die einfachere Form (5) übergeht, wenn die 



