Aus der Geometrie des endlichen und des unendlich-dimensionalen Raumes. 153 



Basisvektoren unter sich orthogonal sind, oder geometrisch ge- 

 sprochen, wenn das von den Basisvektoren gebildete Parallelepipedon 

 rechtwinklig ist. 



Der Beweis sei hier mitgeteilt, da er Gelegenheit bietet, diejenigen 

 Hauptsätze anzuführen, welche den Geometrien des wirklichen, des 

 »-dimensionalen und des unendlich-dimensionalen Raumes gemein- 

 schaftlich sind. 



Ist ein beliebiger linearer Raum 51 und ein Vektor A gegeben, so 

 kann dieser in bezug auf den gegebenen Räumet immer in eindeutiger 

 Weise in zwei zu einander orthogonale Komponenten zer- 

 legt werden, von denen die eine Ä (Projektion von Ä) im gege- 

 benen Raum liegt, während die andere P (Perpendikel von Ä) zu 

 diesem orthogonal ist. Das Verschwinden von P ist dann ein 

 notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, dass der Vektor 

 A im gegebenen Raum 31 enthalten ist. Anderseits ist A von den Vek- 

 toren des gegebenen Raumes absolut unabhängig, d. h. er liegt 

 ausserhalb des Raumes, wenn das Perpendikel P von Null ver- 

 schieden wird.^) 



Bezeichnen wir nun mit ^l,. den /-dimensionalen Raum mit den 

 r ersten Vektoren der absolut unabhängigen Folge A^, A^ -• • als 

 Basis, so kann für jedes r der gegebene Grenzvektor A eindeutig 

 in die Projektion A"'^ auf den Raum ST,, und das zugehörige Perpen- 

 dikel P" zerlegt werden. Es ist namentlich auch 



(7) A = lim{A'"-\-P") 



r = X 



die immer mögliche Zerlegung von A in bezug auf den Raum %. 

 Da aber A im Räume 31 liegt, so ist notwendig lim P''' = und 



somit 



(8) .4 = lim A"-' 



r — X 



Der Vektor A}'"' liegt anderseits im Raum 21,. und hat deshalb 

 die Form 



(9) A"-' = i a'7 Ai = A— P'-'-\ 



1=1 



wo sich die Koeffizienten «';' in eindeutiger Weise folgendermassen 

 bestimmen : 



Ist Pa das Perpendikel von .1/, auf den Raum 31'** mit allen 



Übrigen Vektoren A^ als Basis, so kann dieses wegen der absoluten 



Unabhängigkeit der Basis für kein /.' verschwinden, und es ist 



') Dissert. d. Verf. p. 3G und 70. 



