154 Paul Nahholz. 



p , _ f für / + /•• 



Multipliziert man daher Gleichung (9) mit P/„ so bleibt noch 



P, A"' = ar i^ A. = i^. A - i^ P'"; 

 also wird 



P 4''* P /4 P P<'* • 1 



(10) «';• = -^ = ^1 ^ für ;.} = 1, 2, . . • ad inf. 



Wegen Gleichung (8) und (9) hat dann A die Form (6) 



(11) A = lim 2J-^^A, 



r = oc i =1 -T^f 



- lim 2; -^ ,1^ - hm 2; -^ A, 



Von dieser Differenz entspricht nur der Minuend der „Diagonal- 

 form" (5), und obwohl im Subtrahenden die einzelnen Koeffizienten 



p. p(" 



— "—^ — wegen lim P"' := für r ••= co verschwinden, so wird doch 



der Subtrahend im allgemeinen nicht verschwinden. 



Ist dagegen die Basis ^1,^3 ••• unter sich orthogonal, so ist 

 offenbar für jedes k das Perpendikel P^^^Ai, und da P''* ± A,, für 



k<r, so verschwindet — ^5 — für jedes /■ und somit auch der Sub- 

 trahend von Gleichung (11), so dass in der Tat die Form ((5) in die 

 Form (5) übergeht, wenn die Basis aus unter sich orthogonalen 

 Vektoren besteht. 



Endlich wollen wir noch den Raum betrachten, welcher jeden 

 beliebigen Vektor enthält und als „Gesamtraum" bezeichnet 

 Averden möge. Operieren wir nur mit Vektoren, die >/ Koordinaten 

 haben, so ist der Gesamtraum einfach der >^-dimensionale Raum. 

 Wächst dagegen u über alle Grenzen, so ist nicht mehr jeder unend- 

 lich-dimensionale Raum Gesamtraum. Man kann nun aber von jedem 

 vorgelegten unendlich-dimensionalen Raum entscheiden, ob er Gesamt- 

 raum ist oder nicht. 



Ist nämlich die Folge A^^A.^, ■ • • die Basis des gegebenen Raumes, so 

 lässt sich aus dieser immer eine orthogonale normierte Basis ^) Pi , Pg 1 * " ' 

 desselben Raumes ableiten. Die so erhaltene Vektorenfolge Pj mit den 



*) Die Folge J5i, B», ■ • • ist orthogonal und normiert, wenn 

 „ „ I für i =1^ k . ^ 



