Zur Theorie der tripelortliogonalen Flächensysteme. 319 



ist eine identische, die nacli den in ihr enthaltenen Veränderlichen 

 Xi,X2,x.^ differenziert werden darf. Es ist also 



ebenfalls eine identische Gleichung. Aus dem ersten Gliede »,ri?i'i 

 in (1) erhält man als Beitrag an die linke Seite von (2) : 



?'i ("ni l\ "'i H -«11 ^'ii "', -}- ^^11 (\ Wh) 



+ «2 («112 ^1 i(^i -H^'ii i'io IL\ -r Un i'i '^"12) 



-1 • «3 («113 Vi it\ + »n i'i3 «'1 + «11 ^1 «"l3)> 

 oder (wo wieder z = 1, 2, 3 ist) 



i?, U\ 2:l(^l^ U^ -i- «11 IV, l^V,« ?f„ -h 2'ii V^ UWi^ U^. 



Hier benutzt man aus I, 3 je die erste Gleichung der zweiten und 

 der dritten Gruppe und erhält : 



■i\ Wi 2: «11« «« — «u «'1 >^«i« ^V — "u ^'1 -^ «1« ?f^«- 



Werden alle Glieder von U in gleicher Art behandelt, so nimmt 

 (2) die Form an: 



KA/lt K /. H 



-2 [Eu,„i\- 2:u,^iv^ + Eiu^v,; Zuo^iv^-^ 2:u^^v^- Eii^jv^} =^. (3) 



Es ist dies die Gleichung, welche Schläfli (1. c. pag. 127) in der 

 Form giebt: 



DUÜ'f- 2 ED'f^ ■ Z>'X = 0. 



Eliminiert man aus den Gleichungen (1) und (3) sowie aus den 

 Gleichungen I, 2 (also aus einem System von fünf Gleichungen) 

 die Verhältnisse t\ : v.^ : v^ und iv, : «'2 : ir.^ , so ergiebt sich eine 

 Gleichung, welche nur noch von der Funktion u abhängt; es ist 

 die gesuchte partielle Differentialgleichung dritten Grades. 



III. 



Man betrachte jetzt i\, .r,, x^ als homogene Dreiseitskoordinaten 

 in einer Ebene; in diesem Koordinatensysteme seien ?;, , ?^_,, ?<3 ; 

 ^'i , ''2 . V:i ; «'1 » 1V2 , K3 die Koordinaten dreier Punkte P, Q, 1\. Die 

 Gleichungen I, 2 sagen dann aus, dass P, Q, P in Bezug auf den 

 Kegelschnitt 



