L'her die Primiiiieii der V;iri;ilioii>recliiimijr. ,'}41 



der unabhängigen Variabein t und x', //' ihre Ableitungen : i, /^ 

 sind die Variationen von jc, //. Für r und ij ergeben sich die 

 Differentialgleichungen 



d ÖF _ 9^ _ ^ 



aus denen mau die Kurve x = cp it a, ß), ij i'' '7, «, /:^) erhält, 

 längs der das vorgelegte Integral zu einem Extrenium werden soll. 

 Eine weitere Bedingung für die Existenz eines Extremums ist 

 die, dass die zweite Variation ihr Zeichen nicht ändere. Diese 

 Bedingung führt dazu, dass die Funktion 7*',, die durch jede der 

 drei C-rleichungen 



definiert werden kann, längs der Kurve x--cp{t), i/ - \'< (t) ihr 

 Zeichen nicht wechseln darf. 



Als dritte Bedingung endlich ergiebt sich, ebenfalls aus der 

 zweiten Variation, der Jacobi'sche Satz, dass der Kurve ./■ ^ fp {(), 

 .'/ = '''(0 *^i6 Eigenschaft des lOxtri-niunis nur zwischen zwei kon- 

 jugierten Punkten zukommt. 



Zum Beweise dafür, dass diese drei notwendigen Bedingungen 

 auch hinreichend seien, führte Weierstrass in jener Vorlesung 

 vom Sommer 1(S79 zum ersten Male eine eigentümliche Funktion 

 ein. die neben ijirer Hedeutuiig für den in Kede stehenden Beweis 

 auch noch dadurch von Interesse ist, dass sie die Bedingung. I-\ 

 solle längs der gefundenen Kurve sein Zeichen nicht ändern, ohne 

 Hülfe der zweiten ^'ariation abzuleiten gestattet. Der Gang der 

 Weierstrass'.schen Untersuchung ist der folgende. 



Für die Kurve x - cp (t, «, ß), >/ - i'' (t. «, ß) seien die not- 

 wendigen Bedingungen erfüllt. Man wähle einen beliebigen, durch 

 f- f„ ausgezeichneten Punkt der Kurve als Ausgangspunkt und 

 führe die folgenden Bezeicliiuni.ii<'n ein: 



:;';.,f(a ;^'H^,(o, ly^'Nifi. .^ 



