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Wegen der Homogeneität von i<^ kann man x'. nnd >/'.. in i*'' und 

 F''' durch die Kichtungskosinus j*o nnd 7, von <• J in 2 ersetzen. 

 Bezeichnet man ferner mit [>., und q., die Kichtungskosinus von 3 2 

 in 2 und mit <t die Länge des Bogens 3 2, so erhält man wegen 

 t■^ = — Po*^ " ■ ■ i"^*l ^/3 ^ ~ 52 ö H — für Jo3 — J(,'.' <^^^^" Ausdruck : 



^3 - ^2 - - (i'"" (^2, y.. i'.. 'Z.) P> + i^'''(^., ^.. 7'., 'id '/.} ^ 4- • • • (8) 



Für Jgo ergiebt sich, insofern man die Koordinaten der Punkte 

 von 3 2 durch die zugehörige Bogenlänge a' ausdrückt, der Wert : 



Jz2 ^' \F{T^..y^.,x^.,i)^:)dö. 



(9) 



Entwickelt man nach a und integriert, so kommt: 



J,. = F (r,, ?/,, J>,, y,) ö • • •, (10) 



woraus man mit Rücksicht auf die Homogeneität von F schliesslich 

 erhält : 



J, , = (i^'" (x,. y,. p,, q.;) p, -H F''' (x,, y,, p,, q^q^ö]---- (11) 



Nun definiert Weierstrass eine neue Funktion E{x. y, p, q^J), q) 

 durch die Gleichung: 



F (,/•, //. p, q, [K q ) = {F" (.r, y. p, q) — F'" {X, y. p, q)] i> 

 -. ■ { F"> {X, y, p, q) — F'" {X, y. p, q)] q 

 Dadurch erhält man jetzt : 



'^3 4- ^:i2 — 'A. 2 = f'^^U,, ?/o, P2, qo. P-2' 'y.'"» ö - ; (13) 



Für den Fall eines Extremums ergiebt hieraus die Bedingung, 

 dass längs der Kurve 1' für jeden J*unkt 2 und für jede ))eliebige 

 llichtung p.j, 7., die Funktion F ihr Zeichen nicht wechseln darf. 



Die Funktion F steht in naher Bezieliung zu der durch die 

 (Tleichungen (4) definierten Funktion J\. Bei'ücksichtigt man 

 nämlich die bekannte Gleichung: 



j {/"li'o l-«(i', '-Po),Qo-\-e(q^ --7o^|(7'i-iV> (W 



" +/■■' I /'.. ' < 2'i — iO' Qo ■ ^ (7t - 7oV| ( 7i - 7o)l (ft 



