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uml setzt zur Al)kiirznng 



Pe ^ P -^^ ^ (P — P)^ 'h = 5 -f- e iä — 2), 

 so erliält man ziinäclist: 



r"(.J^;y,p,q)-F^'\u^,lJ,p,q) 

 =J{F''Hx,y,P,, q,)(p -p)-\-F"'^(x, jj,p,, O Ö -ö)} de, 



F'-' (x, y. p, q) — F'" (x, y, p, q) 

 {F^''> (x, y, p^, qj (p -p) ^^ F^''\x, y, p^, q^) (q - q)) de. 



\ 



■s 



(15 



Addiert man aber diese Gleichungen, nachdem man mitj>und'^ 

 multipliziert hat, und berücksichtigt 



F^-^=F,q:. F" 



FrPcj=F^^\ F'->=F,pr, m) 



so ergiebt sich die angekündigte Beziehung zwischen A' und F^ in 

 der Form : 



E ix, y, p, q. p, q) = (p q — q p) ^ 1 P\ {x, y, p^, q^) (1 — £} de. (17) 



Diese Gleichung liefert sofort die Bedingung, dass F^ längs 

 der Kurve sein Zeichen nicht wechseln darf. 



Die Bedingung, dass die Funktion E für jeden Punkt 2 der 

 Kurve 1' und für jede beliebige Richtung p2, q, dasselbe Zeichen 

 besitzen muss, ist für das Bestehen eines Extremums auch hin- 

 reichend. Zum Beweise hülle man 1' in einen solchen Bereich ein, 

 dass E für alle darin befindlichen Punkte und für alle Richtungen 

 dasselbe Zeichen besitzt. Verl)indet man dann einen auf folgenden 



Nachbarpunkt 0' mit 1' durch 

 ' eine willkürliche, aber innerhalb 

 des Bereiches liegende Kurve 

 (Fig. II), so lässt sich zeigen, 

 dass das über diese Kurve er- 

 streckte Integral bei einem nega- 

 tiven E kleiner, bei einem posi- 

 tiven /:/' grösser ist, als das über die Differentialgleichungskurve 0' I' 

 ei-streckte Integral. 



Fi?. II. 



