Chor (li(.' rriiicipicii der V;ii-i;ili<)iisrechiiimjj:. 345 



Zu (licsriii Zwecke wähle man auf der Avillkürlichen Kurve 

 einen l^mkt 3 und drücke seine Koordinaten als Funktionen der 

 von 0' aus gemessenen Bogenlänge u aus. Setzt man dann 



und lässt n das eine Mal um den kleinen Betrag ö zunolinicn, das 

 andere Mal um ö abnehmen, so erhält man mit Benutzung der 

 früheren Keclinungen : 



S {(, — (j) — S (u) - E{x,,U.„ Ps, q„p.,,q:,) ö-:--- ^^^^^ 



S {u^^- ö) — 6' (h) -= — E (T3 » 2/3 . Ih ^ <h ' ih ' ^h ) ö -i- • • • 



Mithin ist E gleich dem negativen Differentialquotienten von 

 S{u) nach u. Wenn also E längs 0' 3 1' nirgends positiv und 

 nicht in jedem Punkte gleich Null ist, so ist das über Ol' er- 

 streckte Integral grösser als das über die willkürliche Kurve er- 

 streckte. Entsprechendes gilt, wenn E längs 0' 8 1' nirgends 

 negativ und nicht in jedem Punkte gleich Null ist. Im ersten 

 Falle erhalten wir also ein Maxinmm, im zweiten ein Minimum. 



11. 



V\''\v gehen nun zur \'erallgemeinerung der in I kurz skizzierten 

 Weierstrass'schen Untersuchungen über, indem wir folgende Auf- 

 gabe formulieren: 



Es «ollen )i Grössen x\, x.,, ••• x,„ zwischen denen die m Be- 

 dingungsgleichungen ./', --^ (// -- 1,2, •••m) bestehen, so als 

 Funktionen von t bestimmt werden, dass das Integral 

 i" 



J ^ j Z^X'^":- •''•:• ■ ■ ■ ■■'■'• ^-'i- ■^'■y ' ' ' ^'•'^ ^^^ (.1 ) 



t' 

 zu einem Extremuiu werde. 



Die Forderung, dass J nur von der Gestalt der Kurve 

 'i = ^i (0' • * • •^'■/. = ^Pn {i) abhängig sei. nicht aber von der Art und 

 Weise, wie .r,,--a;„ als Funktionen von t dargestellt werden, hat 

 zunächst wieder die Homogeneität von i'" in Bezug aiif .<i ••• >il zur 

 Folge. Sodann ist füi- das Bestehen eines Exlremums notwendig, 

 dass die erste Variation 



