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Kouidiiuitou von 3 gegen 2 bedeuten, so erhalten wir durch eine 

 der früheren ganz ähnliche Rechnung für die Änderung, die das 

 Integral / erleidet, wenn es über 3 und 3 2 statt über 2 

 erstreckt wird, den Ausdruck: 



Diibei wird die Funktion E definiert durch die Gleichung: 



wo jF"", ähnlich wie in I. die Ableitung von F in Bezug auf x) 

 bezeichnet. Als notwendige Bedingung für die Existenz eines 

 Extremums ergiebt sich daher, dass längs der Kurve Ol' für jeden 

 Punkt 2 und für jede Richtung pi,--p„, die den Bedingungs- 

 gleichungen (3) genügen, die Funktion E ihr Zeichen nicht wech- 

 seln darf. 



AVie bei zwei Variabein lässt sich auch hier die Funktion K 

 so umformen, dass man die üblichen Kriterien (wie sie z. B. 

 Herr A. Mayer in der Abhandlung ..Über die Kriterien des 

 Maximums und Minimums der einfachen Integrale" im 69. Bande 

 des Crelle'schen Journals dargestellt hat) wiedererkennt. 



Schreiben wir der Einfachheit halber rp (x, p, q, • • -) statt 

 rp (xi, ■• x„ , Pi, ■ ■ ■ 2h> ? (/!;•■ 'i/i ! • • •) und benutzen die bekannte 

 Gleichuno; 



^f2r 



f(p"'') - fdn = j 2f" \p"" " « (p'" - v"'')\ (p''' - p'"') äe, 



o 



so ergiebt sich, wenn zur Abkürzung pT = Pi-r£ (pi — p.) gesetzt 

 wird, die Gleichung: 



F' {x,p) - F'^ (x, p) = j ^ r"'^ (x,p^'') {K-P.) de. (11) 



Multiplizieren wir mit j3, und summieren, so kommt: 



i 



^» 



E {x, p, p)= i ^ F'"-' Cc, j/^0 {p,_ - pj j7, de. (12) 



