über die Princiiiicii der Variiitidiisi-echiiiuiir. 34:*.t 



^V'egen der aus der Homogeneität von F entspringenden Gleichung 



1. K 



küiinen wir aber üleicluing (12) in die Form bringen: 



E(x,p,ji)^ CyF"^'(x,r')(p<P^'-l>.l^n^^^de. (18) 



J '. i: 1>K 



Vertauschen wir nocli / und /. und addieren, so folgt: 

 , .2E{x,i,,p) 



=j ^ F'"" {x,in (p^l^'-p.l^n {~^ - ^^) de, (14) 



woraus sich schliesslich ergiebt: 



1 

 2 K (x, p, p) = l V ^~^i^ (p^ p,, - j;, p.) ^ (1 - 6) de. (15) 



Setzt man noch nach Analogie von i\ : 



F"" (x, p"--') = j^fy^' F,. (^, in, (1<0 



so erkennt man als notwendige Bedingung für ein Extrenmm, dass 



-yLFnA-r^iniihv.-Pnihy- 



I, K 



sein Zeichen nicht wechseln darf. 



Die oben genauer bezeichnete notwendige Bedingung, dass die 

 Funktion F ihr Zeichen nicht wechseln darf, ist für die Existenz 

 eines Extremums auch hinreichend — natürlich immer unter der 

 Voraussetzung, dass das Integral sich nicht über den zu dem 

 Anfangspunkte konjugierten Punkt hinaus erstreckt. Der Beweis 

 hiefür ist der gleiche wie bei zwei Variabein. Auch hier ergiebt 

 sich, dass die Funktion — F{.f.i),y) gleich der Ableitung von 

 «^3 ' J-Ax' "^ '^'(") "iich der Bogenlänge \i der willkürlichen Kurve 

 0' 8 r (s. Fig. II) ist, in die wir, unter Berücksichtigung der Glei- 

 chungen (8), die gefundene Kurve variieren können. 



Im Falle F beständig positiv ist, findet daher ein Minimuu). 

 im andern Falle ein Maximum statt. 



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