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111. 



Unter dem Probleme der geodätischen Linien des »i-dimensio- 

 nalen Rotationsellipsoides ist die folgende Aufgabe zu verstehen : 



Es sollen die n Grössen Xi, x.,, ••• a'„, die mit einander durch 

 die Gleichung 



a- b- ^ ^ 



verbunden sind, so als Funktionen der unabhängigen Veränder- 

 lichen t bestimmt werden, dass das Integral 



t" 



■.fu7 



j= |^;-'H ^j'„^ dt (2) 



ein Minimum Averde. 



Zu diesem Zwecke ermittele man zunächst äj , • • • a;„ und den 

 Multiplikator /. aus den » + 1 Gleichungen 



, f=(). 



Dann ist zu untersuchen, ob längs der gefundenen Kurve die 

 Funktion E für alle Punkte zwischen t' und t" und für alle Rich- 

 tungen pi,--pn, die der Gleichung ■'''^'' + •• + ■^»-1^.-1 +Z^ ^ 



genügen, stets dasselbe Zeichen besitzt. Diese Untersuchung lässt 

 sich hier sofort erledigen. Es ist nämlich 



E (x, p, p) =^ L^J^-jr^ - 7-==^) P' • (4) 



. Wpi -\ \-Pn ]pi-\ \' prJ 



Da aber ^pJ— ^2)7 = 1 ist, so folgt: 



E (x,p,p) = l —J^ PiP'-' (5) 



^un kann 2Jpil>i niemals grösser als 1 sein: es ist also E für 

 alle liichtungen Pi,--p„ positiv. Folglich ist das Integral J 

 sicherlich ein Minimum, wenn nur der zu t' konjugierte Punkt 

 jenseits i" liegt. 



