* Fiedler, birationale Transformationen. 371 



Flächen auf das Bündel und damit auf die Ebene ; bei der 

 der Raumcurven dritter Ordnung und der Congruenz ihrer 

 zweifach schneidenden Geraden aus zwei coUinearen Bündeln 

 die Abbildung dieser Congruenz; etc. In der That sind die 

 ersten Beispiele der Aljbildung algebraischer 0])erflächen auf 

 die Ebene in ihrer analytischen Form bei Clebsch nichts an- 

 deres als die algebraischen Formulirungen und eleganten 

 Durchführungen dieser Abhängigkeiten. Und im Verfolg 

 dieser Bestrebungen ist die Theorie der birationalen liaum- 

 transformationen von Cremona entwickelt worden, in natür- 

 licher Erweiterung seiner Theorie der birationalen Transfor- 

 mationen des ebenen Systems. Es wird sich zeigen, dass die 

 einfacheren Bestandtheile beider Theorien in natürlicher Ver- 

 bindung aus dem System der Geometrie der Lage hervor- 

 gehen. 



Bei der Untersuchung der Projectivität der in einander- 

 liegenden Elementargebilde zweiter Stufe sind nach einander 

 die Fälle der Collineation, der Reciprocität und die der In- 

 volutionen beider, also der centrischen harmonischen Colli- 

 neation und des Polarsystems zu betrachten ; bei der Projec- 

 tivität der Elementargebilde dritter Stufe die Fälle der Col- 

 lineation, der Reciprocität, der centrischen und geschaarten 

 Involution collineaier Systeme, und der involutorischen Reci- 

 procitäten in den beiden Formen des Polarsystems und des 

 Nullsystems. Sie führen von selbst auf eine Reihe der wich- 

 tigsten und einfachsten birationalen Transformationen durch 

 die Betrachtung der doppeltconjugierten Elemente zn einem 

 gegebenen Elemente. 



Bekanntlich erhält man so aus zwei vereinigten 

 ebenen Polarsystemen die Magnus-Steiner'sche Ver- 

 wandtschaft. Wenn man nach Nachweisung seiner Existenz 

 das gemeinsame Tripel harmonisclier Pole und Polaren der- 



