Fiedler, birationale Transformationen. 373 



ll («2 ft — «3 fe) ^2 ^3 H- ?2 («3 ßl — ^^1 1^3 ) ^3 ^1 

 -4- ?3 («1 ß2 — Ci2 ßi)XiX2 =0 



welche mit |i = o in zwei Gerade nämlich die gleichnamige 

 Fundamentallinie Xi = o und einen Strahl durch die ent- 

 sprechende Ecke Ai zerfallen. Wenn zwei Punkte des ge- 

 raeinsamen Tripels in die Kreispunkte der Ebene fallen, so 

 erhält man die Kreisverwandtschaft. Zwei Polar- 

 systeme im Raum führen vom Punkt ?/i zur Schnitt- 

 linie seiner entsprechenden Ebenen und von den dreifach 

 unendlich vielen Punkten des Raumes zu den dreifach unend- 

 lich vielen Strahlen eines tetraedralen Complexes von leicht 

 bestimmbarem Doppel verhältniss. Denkt man drei Polar- 

 systeme im Raum, so besitzen dieselben im Allgemeinen 

 kein gemeinsames Quadrupel und man muss also, wenn man 

 die beiden ersten in derselben vereinfachten Substitutions- 

 form ausdrückt, das dritte durch die allgemeine lineare Sub- 

 stitution mit «ik = «ki darstellen. Dem Punkte ist dreifach 

 conjugiert ein anderer Punkt, der Schnitt der drei entsprech- 

 enden Ebenen; das Entsprechen ist ein involutorisches ; der 

 Ebene und der geraden Reihe entsprechen respective eine 

 Fläche und eine Raumcurve dritter Ordnung, etc. (Vergi. 

 Magnus «Aufgaben und Lehrsätze» Bd. 2, § 83.) Die ge- 

 meinsamen Punkte der drei Directrixflächen der Polarsysteme 

 entsprechen sich selbst. Die Untersuchung der allgemei- 

 nen Reciprocität in vereinig ten Gebilden zweiter 

 Stufe führt auf ganz Analoges. Man zeigt die Existenz von 

 drei involutorisch entsprechenden Elementenpaaren, die ein 

 Dreieck Ai A^ A^ bilden und von denen zwei A^^ A^ A^ und 

 J.3, A^ .4.1 zugleich ineinanderliegend sind, während das 

 dritte ^1, A^ A^ getrennt liegt. (Vergl. meine «Darstellende 

 Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der 

 Lage» § 160.) In Bezug auf diess Dreieck als fundamental er- 



