380 Fiedler, birationale Transformationen. 



Bei der Untersuchung der zu den Ebenen des Raumes 

 correspondirenden Elemente ergeben sich die dualistisch ent- 

 sprechenden Resultate ; eine birationale involutorische Trans- 

 formation zwischen den Bi und |*, bei der die Schnittlinie 

 entsprechender Ebenen immer eine Transversale von Ä^ Ä^ , 

 A2 A^ ist; deren sich selbst entsprechende Ebenen die Polar- 

 fläche der Reciprocität umhüllen, bei der den Ebenen eines 

 Bündels die Tangentialebenen einer Fläche dritter Classe ent- 

 sprechen, welche die Tetraederkanten enthält und daher die 

 Elächen desselben zu singulären Tangentialebenen hat; ins- 

 besondere wenn sein Scheitel in einer Fundamentalebene 

 liegt, ein Punkt und ein Kegelschnitt; einem Ebenenbüschel 

 daher die zu zwei Kegelschnitten mit einer gemeinschaftlichen 

 Tangente gemeinsame developpable Fläche dritter Classe. 



In beiden Fällen haben wir involutorische Beziehung in 

 der besonderen Form, dass eine Fläche zweiten Grades als 

 Involutionsfläche und zwei in Bezug auf sie einander conju- 

 gierte Gerade als Involutionsaxeu auftreten. Der Fall der 

 drei Polarsj^steme zeigt uns acht Punkte respective Ebenen 

 als Centra und als Ebenen der Involution. 



Ziehen wir noch die Reciprocität der Räume in der 

 Form des Nullsystems in Betracht, so entspricht in zwei 

 Nullsystemen jedem Punkte ein durch ihn gehender Strahl, 

 der geraden Reihe eine zu ihr perspectivische Regelschaar ; 

 und in drei Nullsystemen ist jeder Punkt des Raumes sich 

 selbst dreifach conjugiert, während ihm zugleich ein Tripel 

 von durch ihn gehenden Strahlen zugeordnet ist. Es ist dar- 

 aus ersichtlich, dass zwei Polarsysteme und ein Nullsystem 

 oder zwei Nullsysteme und ein Polarsystem gleichfalls auf 

 eine Punktabbildung führen, während die Combination eines 

 Polarsystems und eines Nullsystems die Abbildung des 

 Punktraumes auf einen Strahlencomplex ergiebt — Abbil- 

 dungen, deren nähere Erläuterung kaum erforderlich ist. 



