382 Fiedler, birationale Transformationen. 



für sich allein auf die Abbildung des Punktraumes in den 

 tetraedralen Complex führt (a. a. 0. § 167), während die 

 andern in zweifacher Wiederholung oder in Combination mit 

 einander Analoges liefern. Offenbar liefert jeder dieser Fälle 

 in Combination mit einem Polarsysteme oder einem Null- 

 system eine Punktabbildung, in der der geraden Reihe eine 

 Curve dritter Ordnung entspricht. Man sieht auch, dass andere 

 Combinationen die Abbildung des Punktraumes in den Ebe- 

 nenraum geben. So treten alle die Formen der birationalen 

 Transformationen hervor und die einfachen constructiven Zu- 

 sammenhänge sind vortrefflich geeignet, die speciellen Cha- 

 racterzüge derselben zur Anschauung zu bringen. Ich kehre 

 noch auf einen Moment zur Magnus-Steiner'schen Verwandt- 

 schaft zurück, die allein von allen den hier erwähnten aus 

 der Geometrie der Lage entspringenden Transformationen 

 früher Ausbildung gefunden hat. Man weiss wie Steiner sie 

 durch seine windschiefe Projection aus einer Beziehung im 

 Raum von drei Dimensionen zwischen zwei Ebenen hat her- 

 vorgehen lassen, und es ist offenbar, dass die birationale invo- 

 lutorische Punktabbildung der allgemeinen Reciprocität der 

 Räume und nicht minder die entsprechende Ebenen-Trans- 

 formation mit ihren Involutionsaxen an diese Construction 

 erinnern. Wenn man im Anschluss an die Steiner'sche Con- 

 struction die Abbildung des Gesammtraums mit einem con- 

 stanten Doppelverhältuiss nach Analogie der centrischen Col- 

 lineation aus Centrum und Axe oder Ebene bei gegebener 

 Characteristik concipiert hat (Vergl. Emil Weyr «Geometrie 

 der räumlichen Erzeugnisse ein-zwei-deutiger Gebilde» Note 

 D, p. 139 f.), so hat sich hier gezeigt, dass im Sj^stem der 

 Geometrie der Lage eine birationale involutorische Trans- 

 formation dritten Grades ähnlich auftritt, bei welcher das 

 Doppelverhältuiss eines Paares entsprechender Punkte von 

 den Coordinaten derselben abhängig ist. 



