194 Graberg, Stufenfolge der Massräiime. 



nach gegebenen Mass Verhältnissen bewegte Linien 

 gegliedert wird, heisst Massraum. Regeln die Mass- 

 verhältnisse das Gleiten eines Punktes in bestimmter 

 Richtung oder die Drehung eines Strahles um seine Mitte, 

 einer Ebene um eine Axe derselben, so bedarf es nur der 

 Bezeichnung einer Richtung, um die Theilung des 

 Raumes zu überschauen oder die Lage eines Punktes zu 

 gegebenen Linien, d. h. die Richtung einer Blicklinie zu 

 erkennen. Dieser lineare Massraum umfasst die Figuren 

 der Planimetrie und Stereometrie, welche sich auf die 

 Gerade und die Ebene beziehen, sowie die projectiven 

 Gestalten: Punktreihe, Strahl- und Ebenenbüschel, Strahl- 

 und Ebenenbündel und die Ebene, sofern sich dieselben 

 in Schnittlage befinden; das Drehgebilde (Büschel, Bündel) 

 die Theilung des Gleitgebildes (Richtung, Ebene) wirklich 

 anzeigt. 



Die Wechselbeziehungen zwischen Linien- 

 paren beruhen auf der Zerlegung derselben Quad- 

 ratzahl in verschiedene Faktorenpare und kom- 

 men bei der harmonischen Theilung als Punkt- 

 und Strahlen-Involution mit Doppelelementen, bei 

 dem Kreisbtischel mit Schnittsehne als Involution 

 ohne Doppelelemente zur Erscheinung. Damit die 

 Involution Doppelemente enthalte, müssen -die beiden 

 Reihen der geparten Elemente sich gegen einander be- 

 wegen, die Involution desshalb kreuzend sein; ist die- 

 selbe laufend, so bewegen sich die Reihen der geparten 

 Elemente im gleichen Sinne und desshalb können Doppel- 

 elemente hiebei nicht vorkommen. Fallen die Doppel- 

 elemente zusammen, so bezeichnen dieselben eine Grenze 

 des Reihenpares ; man^ kann darum in solchem Falle die 

 Involution grenzend nennen. In d^r That bezeichnet die 



