Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insliesondere der kubischen. 157 



man in derselben Weise die Glieder in x\ x\ Xs u. s. w., so ergiebt 

 sich zuletzt 



(p («j , Xo, x.^, 0, 0) und ^ (a?i , a?^, ccg, 0, 0). 



Auf dieselbe Weise fortfahrend , gelangt man successive zur 

 Kenntnis der Glieder, welche ausser x^ , a%, x^ auch x^, hierauf derer, 

 welche noch a?=, enthalten u. s. f. Man sieht also, dass die gemein- 

 samen Faktoren von / und F ein Produkt bilden, welches selbst 

 eine zerlegbare Form mit rationalen Koeffizienten ist. 



Sei nun ü das Produkt aus Faktoren von /, welche a mal, 

 Y derer, welche ß mal vorkommen, u. s. w.; also 



/ =: U" V ]1> 



und (c > ß > y > ; 



dann ist 



|Z= C/«-i7/^-MT>-i... ia\^ VW ^ßU — W ^ • 



und es ist 



f^ = JJa-l yß-l |]V-1 



der grösste gemeinschaftliche Faktor von / und ^; also eine zer- 

 legbare Funktion mit rationalen Koeffizienten. Hieraus bestimmt 

 sich in derselben Weise 



/g = iJa-2yß-2 y^ry -2 



fährt man so fort, so erhält man zuletzt U allein, hierauf successive 

 F, IF, Die Untersuchung reduziert sich daher auf die Be- 

 trachtung jeder der Formen ?7, F, TF, für sich. 



Ist die Gleichung (jp (x, — F) = reduktibel, ohne gleiche Wur- 

 zeln zu haben, so sei i^ (i) ein irreduktibler Faktor j/"' Grades 



derselben und «i, cog, "y» seine Wurzeln. Alsdann ist das 



Produkt der Faktoren 



umi a 



eine symmetrische Funktion von w,, o?^, «^ ; also eine zerleg- 

 bare Form mit rationalen Koeffizienten. Die Form / reduziert 

 sich daher auch in diesem Falle auf ein Produkt von zerlegbaren 

 Formen, entsprechend den irredukti)>eln Faktoren von (fix, — 1 ) = 0. 



Endlich kann an Stelle der Gleichung (p (a;, — 1) = eine solche 

 gesetzt werden, in welcher der Koeffizient der höchsten Potenz die 



