Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 159 



Im folgenden soll nun für co die reelle Kubikwurzel aus einer 

 positiven ganzen Zahl D angenommen werden und ausserdem (was 

 nur eine scheinbare Beschränkung ist) soll D durch keine dritte 

 Potenz einer Primzahl teilbar sein, also keinen kubischen Faktor 

 enthalten. Es ist also vor allem die Theorie der aus solchen 

 Wurzeln gebildeten komplexen Zahlen zu entwickeln. 



II. 



§ 5. Einleitendes. 



Es seien a die reelle, a' , a" die konjugiert-imaginären Wurzeln 

 der Gleichung 



und D eine ganze, positive, durch keine Kubikzahl teilbare Zahl. 

 Der Ausdruck 



q) («) = a -\- h CO ~ c a^ 



heisst eine komplexe ganze Zahl in w, wenn a, h, c ganze Zahlen 

 sind. Im folgenden soll der Kürze wegen unter einer komplexen 

 Zahl, w^o nicht ausdrücklich das Gegenteil erwähnt wird, immer 

 eine ganze komplexe Zahl verstanden sein. Das Produkt der drei 

 konjugierten Faktoren 



(a-\-b a-^c co^) {a^h a ~\-c a ^) (a -\- h oa" -}- c a" ^) 

 = a^ ^ Dh'^D-c^ — 3Dahc 



heisst die Norm jedes derselben und soll mit N (a -{- h cd -\- c a^) 

 bezeichnet werden. Ist es der Einheit gleich, so heisst <jp (co) eine 

 komplexe Einheit. 



Es sind nun zunächst die Bedingungen aufzustellen, unter 

 welchen eine solche Norm durch eine reelle Primzahl teilbar ist. 

 Dies geschieht mit Hülfe von Kongruenzen in Bezug auf diese 

 Primzahlen als Moduln und zwar ist zu diesem Zwecke zuerst die 

 Kongruenz 



z''=D 



zu behandeln. Hierbei verhalten sich aber die verschiedenen reellen 

 Primzahlen wesentlich verschieden; ich werde sie in fünf Kate- 

 gorien sondern, und zwar sollen p, q, r Primzahlen bedeuten^ 



