Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 161 



Die Kongruenz 



7.J=D (modr") 

 dagegen hat nur eine reelle Wurzel ?^;, ; die beiden andern sind 



r^ju T und ?;,„ t^, 



wenn t = ^ — - eine AVurzel der irreduktibeln Kongruenz 



T^ + r + 1 = (mod r) 

 bezeichnet. 



§ 6. Teilbarkeit der Norm durch eine reelle Primzahl. 



Mit Hülfe dieser Sätze entscheidet sich nun die Teilbarkeit 

 von N (a -h hoj ~{~ cto^) = iY^ (w) durch eine reelle Primzahl in 

 folgender Weise : 



Bezeichnet man mit ~;,, r](,, 2^,' die reellen oder imaginären 

 Kongruenzwurzeln von 



z^ ~ D (mod ?n"), 

 wo m eine der Primzahlen jj, q, r bedeutet, so ist 

 N{a-hhco^rAo')^ia^h2f,^cz^) {a^bz',,-hc2f,') {a-^hzä-^-cz'/r) (modm^') ; 



denn wie bei der Reduktion ganzer Funktionen von co, 10 , co" die 

 Gleichungen in Anwendung kommen : 



w + w' -hw == 0, w' oj" + w" w H-cj w' = 0, aio co = D, 



so kommen bei der Reduktion von ganzen Funktionen der Kon- 

 gruenzwurzeln ZjL,, z'j,i, z'/, in Anwendung die Kongruenzen 



z^ -h z',, + 2'/. =0, z'^, z'^ + s;: z^, + Zf, z'f, = 0, z^Zf,z;,=J) (mod m^% 



Hieraus aber ergiebt sich sofort, wenn mit |, T^ wie oben die 

 resp. den jj, r entsprechenden Kongruenzwurzeln bezeichnet werden: 



1. Damit N(f (w) 



durch j>" teilbar sei, nicht aber durch jj'' + S muss das Produkt 



'/'(w')-y(b;,)-'iP(|«') 

 durch jy, das Produkt aber 



nicht durch j/'+i teilbar sein. 



