Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der Icubischen. 163 



durch t^ teilbar, wenn a durch t'^, h durch t teilbar ist, 



durch t" teilbar, wenn a durch f^, h, c durch t teilbar sind, etc.; 



allgemein: damit N {a -\-boj -\-cco^) durch 1^" + " teilbar sei für 



j.1 > , müssen a, h, c durch tf'~^ und iV ( '^^ j durch 



t^ + '' teilbar sein. 



6. Die Zahl 2 schliesst sich in ihrem Verhalten für ein gerades 

 D den Zahlen s und t an, für ein ungerades den Zahlen r; denn 

 in letzterem Fall hat die Kongruenz 



2^ = D (mod 2) 



die reelle Wurzel 1, die übrigen sind Wurzeln der irreduktibeln 

 Kongruenz 



T2 + -r+l=0 (mod 2). 



Die Zahl 3 endlich verhält sich wie die Zahlen s oder t, 

 jenachdem D durch 3 oder durch 3^ teilbar ist. 



Ist D weder ^0, mod 3, noch D^^l, mod 9, so findet man 

 leicht die Bedingungen : 



Es ist N{a-^bio -^cco^) 



= (mod 3), wenn a -\- Z)6 + ß = (mod 3), 

 = (mod 3^), wenn a = Db = c (mod 3), 

 = (mod 3^), wenn « = 6 = c = (mod 3). 



Ist D^^l (mod 9), so lassen sich keine so einfachen Be- 

 dingungen mehr aufstellen ; indess ist für das Folgende die Be- 

 trachtung dieses Falles überflüssig. 



§ 7. Definition der idealen Primfaktoren. 



Auf obiges gestützt ergiebt sich nun folgende Definition der 



idealen Primfaktoren der komplexen Zahl g) (w) = a + &w + coj-. 



1. Die Primzahlen p sind als aus drei komplexen Primfaktoren 



bestehend zu betrachten ; sie ordnen sich den Kongruenzwurzeln 



^, ^', ^" zu, indem man sagt: 



(p (w) enthält den zur Kongruenzwurzel ^ gehörenden Prim- 

 faktor von p und zwar genau f^i mal, 

 wenn q (|„) durch p" , aber (p {^,u + i) nicht durch j;" + ^ teilbar 

 ist und ganz ebenso sind 



