Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 1(35 



4. Von idealen Primfaktoren der Zahlen s und t, sowie der 

 Zahl 3 sehe ich ab, da die Einführung solcher für das folgende 

 keinen Vorteil gewährt. Wenn daher im folgenden von idealen 

 Zahlen die Rede ist, so sind damit immer solche gemeint, deren 

 Normen zu 3 D prim sind. 



§ 8. Eigenschaften der idealen Prinifaktoren. 



Es ist nun zu beweisen, dass die so definierten idealen Prim- 

 faktoren wirklich den Charakter von Primfaktoren besitzen. Dies 

 geschieht durch folgende Sätze: 



1. Wenn keine der Zahlen r/) (w), iji [co] den komplexen Prim- 

 faktor f'j enthält, so enthält ihn auch das entwickelte Produkt nicht. 



a) Enthalten die beiden Zahlen den zu | gehörenden Prim- 

 faktor von p nicht, so ist von den reellen Zahlen cp (^) und i/' {^) 

 der Voraussetzung nach keine durch j) teilbar, also auch ihr 

 Produkt nicht, noch der ihm kongruente Ausdruck, welchen man 

 erhält , wenn man an Stelle von ^^ D setzt. Dieser Ausdruck 

 aber entsteht auch, wenn man im entwickelten Produkt (p {('->). '/'(w) 

 die Gleichungswurzel w durch die Kongruenzwurzel ^ ersetzt; 

 folglich enthält dieses Produkt den zu ^ gehörenden Primfaktor 

 von p nicht. 



b) Soll 



N (cp (w) . ip {co)) = Ncp{co) . NU> {oj) 

 durch q teilbar sein, so muss einer der Paktoren es sein; dies 

 kann aber nur geschehen, wenn entweder cp {co) oder i/'(w) durch q 

 teilbar ist ; folglich etc. 



c) Enthält keine der Zahlen q){cü), ip{co) den zu ?; gehörenden 

 Primfaktor von r, so ist weder cp {rf), noch ip (j;) durch r teilbar 

 und der Satz ergiebt sich wie für die Zahlen 2^. 



Enthalten die Zahlen 95 {co), i/^ {co) die zu den imaginären Kon- 

 gruenzwurzeln gehörenden Primfaktoren von r nicht, so ist weder 

 g) (t7^)= a — c?y^ + r (?i3^ — crf), noch W (rr^) = a' — c r^^ -i- r {b' tj — crj^) 

 durch r teilbar, also auch das Produkt nicht, da sonst wegen der 

 Irreduktibilität der Kongruenz 



r^ + r -h 1 = (mod r) 

 einer der Faktoren es sein müsste. 



Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLII. 1897. 12 



