Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 107 



4. Wenn (p (co) 



die Primfaktoren von p resp. u, f-i , /.i" mal enthält, so ist Nq)(cü) 

 durch jjf, + M-+."- =2/- 



teilbar; denn der Voraussetzung nach ist 



(filu) =cp(^,)-Q (modi>"), 

 g)(^;,) =(^(^;.) = (modj>«'), 

 (jp(i;'„) = <P(^Ä) = (modi;^'); 

 somit 



(p (h) . (f (Ia) . cp (lÄ) = Ncp (w) = (mod p^). 

 Ebenso, wenn q) (to) den zar reellen Kongruenzwurzel ge- 

 hörenden Primfaktor von r u mal, die beiden andern {.i mal ent- 

 hält, ist 



Ncp((o) = (mod7-^ + 2^'). 



Da nun die Norm jeder komplexen ganzen Zahl eine reelle 

 ganze Zahl von endlicher Grösse ist und die oben aufgestellten 

 Kongruenzen das Vorkommen jedes Primfaktors von j;, q, r in 

 unzweideutiger Weise bestimmen, so folgt der Satz : 



5. Jede gegebene komplexe ganze Zahl enthält nur eine 

 endliche Anzahl unveränderlich bestimmter Primfaktoren. 



6. Ist fpiso) eine wirkliche komplexe Zahl, deren Norm zu 

 3Z) prim ist und enthält die wirkliche komplexe Zahl \i'{co) alle 

 Primfaktoren von cpicy) und jeden mindestens ebenso oft, so ist 



^(w) durch (pip) teilbar, d. h. der Quotient , . ist eine wirk- 

 liche komplexe Zahl. 



Denn 4'{^) (fi^') ^fi^^") 



enthält alle Primfaktoren von j), '>', welche in 



N(p(coi) = ffico) cp{o}) (p((o") 



enthalten sind, mindestens ebenso oft, ist daher nach 3. einzeln 

 durch die in Ncf> (w) enthaltenen Primzahlpotenzen teilbar, also 

 der Quotient 



ip (w) y (C.j'j (f (üj") ^ 1[J (tu) 

 N(f.{(o) q (oj) 



eine ganze Zahl. 



