Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 179 



Der Koeffizient von Sx^ Xo x^ ist gerade oder ungerade, je 

 nachdem DJ gerade oder ungerade ist, und es ist dann immer 



resp. -Y S oder 4iS' eine ganze Zahl, also m Divisor resp. von ' 



oder von ZDJ. 



Die neun Koeffizienten a^, hy Cj etc. in ii^, ii.2, u^ können 

 ohne einen allen gemeinschaftlichen Teiler angenommen werden; 

 dann haben auch die neun Koeffizienten a[, &i etc. in Vi, Vo, v^ 

 keinen solchen gemeinschaftlichen Teiler, insofern, wie im fol- 

 genden überall, nur von Substitutionen mit reellen ganzzahligen 

 Koeffizienten und der Determinante 1 die Rede ist. 



Ebenso leuchtet ein, dass ein gemeinschaftlicher komplexer 

 (wirklicher oder idealer) Divisor von n^, tt^, n.^ auch ein solcher 

 von i\, i'2, i'a ist, und umgekehrt. 



Die Determinante z/ endlich soll, wie erlaubt ist, positiv an- 

 2:enommen werden. 



§ 12. Fimdameiitalsatz. 



Vorerst soll nun folgender Satz bewiesen werden: 

 „Bedeutet das Produkt derjenigen Primzahlen, welche in D 

 quadratisch vorkommen, so kann die Zahl m immer auf die Form 



6^ . n 



gebracht werden, wo Q ein Divisor von Q ist und n prim zu 3I>; 

 und es kann n so in das Produkt ?2 , u'i n[' von konjugierten (wirk- 

 lichen oder idealen) Faktoren zerlegt werden, dass ^f^, u^^ u-^ alle n^ 

 als Faktor enthalten." 



Ich betrachte zuerst die Zahl 3. 



Sei m durch 3^' und durch keine höhere Potenz von 3 teilbar, 

 so lässt sich N{u-^^x^ -f- ^«2 ^2 +''3^3) durch eine lineare Substi- 

 tution immer so transformieren, dass der Koeffizient N u^ von x\ 

 genau durch 3^' teilbar ist. Ist dies erreicht, so setze man 



und schreibe 



f= — N («1 Xj -+- 11.2 ^2 + «3 ^3) 



