Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 181 



Nenner von / resp. den Faktor S^"-^ oder 3^^, aus den Koeffi- 

 zienten des linearen Ausdrucks 



den Faktor 3"-i oder 3" weg, so bleibt im Nenner eine Zahl, 

 welche den Faktor 3 in der dritten Potenz oder gar nicht enthält, 

 je nachdem D durch 3^ teilbar ist oder nicht. 



Für die Zahlen s und t beweist sich der Satz in ähnlicher 

 Weise. Ist m genau durch s" t" teilbar, so kann ii^ v ebenfalls so 

 vorausgesetzt werden; dann sind aber 



N {ui v), N («2 v), A^ («3 v) 



durch s^f t'^" teilbar, also die Koeffizienten von «ji;, ii^v, u^v 

 durch s" i"-i. Nach Weghebung dieses Faktors und der ent- 

 sprechenden s''"' i''''-^ . . . bleibt also noch eine Zahl m von der 

 Form 



m = B^ . n, 



wo 6 ein Teiler ist von 0, und die Zahl u prim zu 3i). Ausser- 

 dem erhellt leicht aus den (§ 6) aufgestellten Bedingungen der 

 Teilbarkeit der Norm komplexer Zahlen durch Primzahlen t, dass 

 6^ das grösste aus solchen Primzahlen gebildete Produkt ist, 

 welches zugleich in N{ui), N{uo), ^(^h) aufgeht. 



Hienach kann ii bloss noch Primzahlen jj und r enthalten, 

 da sich die Primzahlen q sofort wegheben lassen ; auch können ii^ , 

 i(o, Uci nicht sämtlich alle drei Primfaktoren einer Primzahl jj 

 oder )• enthalten, ansonst sie durch diese Primzahlen teilbar 

 wären. 



Beweis für die Primzahlen j;. 



Es seien also z. B. 7c°, 7t'"' die höchsten Potenzen der Prim- 

 faktoren yr, tv von p, welche zugleich in ?(, , ii^, «3 enthalten sind, 

 während rr" nicht zugleich in allen dreien vorkomme. Ersetzt 

 man nun in u^, u^, U3 die Wurzel co successive durch die Kon- 

 gruenzwurzeln la, l'a', I", so gehen sie in reelle ganze Zahlen 

 über und die Linearfunktion werde resp. 



Vierteljahrssehrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLII. 1897. 13 



