182 Aniokl Meyer. 



A-l Xi —\- A.n X2 \ A-Z Xz} 



wo nun der Voraussetzung nach die drei Koeffizienten derselben 

 in Klammern stehenden Linearfunktion niemals alle drei durch p 

 teilbar sind. 



Giebt man nun jeder der drei Zahlen x^ , x^-, x^ die Werte 



0, 1, 2, .. .. i,-\, 



so wird jeder der obigen (in Klammern stehenden) Ausdrücke für 

 'p^ Kombinationen = (mod ^); also giebt es höchstens 3jj^ Kom- 

 binationen, für welche mindestens einer derselben ^ (mod|?^) ist. 

 Im Ganzen giebt es aber jj^ Kombinationen, also mindestens 



j)^ — 3 j9^ = 2^ ^ ( j; — 3) 



Kombinationen, für welche keiner der Ausdrücke = (mod j5j) 

 wird. 



Nun ist jj > 3 ; also kann man für a?j , »2 » *3 immer Wert- 

 systeme finden, für welche iV {\i^x^-^u^_x^-\~x{^x^ durch keine 

 höhere Potenz als die (a + a')*® teilbar ist. Der Voraussetzung 

 nach sind aber alle diese Normen durch m teilbar ; somit ist der 

 Exponent k der in m enthaltenen Potenz -p^ von p immer < (a-h«), 

 und es lässt sich daher U immer so in zwei Zahlen k = f.i -+- a 

 zerlegen, dass 



f.1 < a, f.1 < ä 



und also u^, n^, u^ alle sowohl tt'" als tt'^'' als Faktor enthalten. 



Beweis für die Primzahlen r und die Zahl 2. 



Für die Primzahlen r lässt sich der Beweis ganz in ähnlicher 

 Weise führen ; er erstreckt sich dann aber nicht auf die Zahl 2, 

 welche, wenn D ungerade ist, zu dieser Klasse von Primzahlen 

 gehört. Folgende Betrachtung hingegen, welche sich auch auf die 

 Primzahlen p anwenden lässt, hat auch für die Zahl 2 Gültigkeit. 



Es zerfalle r in die drei Primfaktoren q, q', q", von denen q 

 der reellen Wurzel der Kongruenz if = D (mod r) zugehöre. An- 

 genommen nun, m sei durch r" teilbar, so wäre die Zerlegung 



