Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. ]83 



von r" in drei Faktoren, von denen jeder die Koeffizienten eines 

 der drei Faktoren von N{uiX^ + ?(2 iCg +^^3 ^3) misst, dann un- 

 möglich, wenn ii^, u^, n^ weder alle den Faktor q", noch alle den 



Faktor (q' q")^ enthielten. Da nun Ntii, Nii^, Nu^ alle durch r", 

 aber ?<!, 1(2, «3 nicht alle durch r teilbar sind, so rauss eine der 

 Zahlen ^i, z. B. ii^ entweder von der Form sein 



^«>.Ä; oder (q q'y^ . k, 



wo «1 oder 2ß^>v 



und k keinen Primfaktor von r enthält. Es sei also erstlich 

 «1 = ?"• • h 



tlo = ?"-' . (q q")'''' . /v2 



«3 = Q""' (q Q")^'h, 

 wo die A'i, k^, k.^ keine Primfaktoren von r enthalten sollen und 

 eine der Zahlen «o» ^fg, z. B. a.,, < v, sei. 



Nun ist der Voraussetzung nach der Koeffizient 

 iii u[ u'o -h ?<i 1(2 u'i + ?<2 w'i ii'i 

 von a?i ^ 022 durch r " teilbar. Derselbe hat die Form 



WO iT, Ä', K" keine Primfaktoren von r enthalten. Wegen a^ < j' 

 ist derselbe aber weder durch q"", noch durch q'*', noch durch q"", 

 somit auch nicht durch r" teilbar; contra hyp. 

 Würde zweitens angenommen, es sei 



Ui^{QQ"y'-k^ . 2ß,>v 



u., = Q''-^.(Q'Q"y-^.k, 2ß,<v 



ih = Q"'.{QQ"y^.k, 2/?2 -f- «2 > >', 



wo k^, k^, ^3 wiederum von Primfaktoren von r frei sind, so 

 würde der Koeffizient 



II1 U.2 ll'o + 112 ll'i y'2 + U2 «2 Ui 



von x^xl die Form annehmen 



■^Uh (g' ^")a2 + ^, + ^2 i:-f ^'2^. (^ ^")a2 + A^', +^2 ^' _f , ^"2/5., (^' ^)«2 +/'l + /^\' K" : 



somit wäre er wegen 2ß,^ < v und 2 {ß.^ + /?j ) + «^ > 2 »' weder 

 durch ^"j noch durch q", noch durch q"", also auch nicht durch >" 

 teilbar. 



