Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen. 197 



i (w) Mi . M'k M[' teilbar sind. Hebt man diese weg und bringt 

 den Zähler durch lineare Transformationen in die reduzierte Form 



«1 a?! -\- «2 a?2 "^' ^3 ^3' 



so erhält man den Ausdruck 



<>h Xi + W.3 Xj + l»S ^3 



und die Untersuchung ist darauf zurückgeführt, zu entscheiden, 

 ob zwei reduzierte Formen mit demselben idealen Nenner iV- M'/ 

 äquivalent sein können. 

 Die Frage, ob 



1 ^^ /ihA\ ^ 1(2X2 -hnsX3 \ ■, _1_ ^^ (i\Jj^rjhX2±Jh3C3\ 



identisch sein könne, kann wieder behandelt werden wie vorhin; 

 nur gehört jetzt die ideale Zahl / («) zur Hauptklasse, d. h. sie 

 ist eine wirkliche komplexe Zahl und daher g (w) teilbar durch 

 i (a). Nennt man den Quotienten r/ (a), so ist nun g' (o) eine 

 komplexe Zahl, deren Norm die dritte Potenz eines Divisors 6 



von ist. Alle Zahlen --^--^ können nach § 10 als ganze Po- 

 tenzen einer einzigen — ^ dargestellt werden, und zwar stellen 

 die ersten (Öj — 1) Potenzen der letztern alle Zahlen ^-^-^ dar, 



welche nicht durch Multiplikation mit einer Einheit aus einander 

 abgeleitet werden können und nur solche. Mit diesen O^ — 1 ersten 



Potenzen multipliziere man den Ausdruck -*— ^ — -~ ——, wobei 



gemeinschaftliche Faktoren t im Nenner und den Koeffizienten des 

 Zählers wegzulassen sind, und reduziere den erhaltenen Linear- 

 faktor. Von jedem der so erhaltenen Linearfaktoren bilde man 

 endlich noch die durch Multiplikation mit Einheiten abgeleitete 

 Periode, so muss sich unter den so erhaltenen Formen auch die 

 Form (p befinden, ansonst (p und / nicht äquivalent sein können. 

 Denn durch das angegebene Verfahren sind alle reduzierten Formen 

 gebildet worden, welche der Form / äquivalent sind. 



Hieraus ergiebt sich folgende Konstruktion eines Systems 

 nicht äquivalenter Formen: 



Vierteljabrsschrift d. Xaturf. Ges. Zürich. Jalirg. XLII. 1897. 14 



