216 Meyer, mathematische Mittheilungen. 



Da (a, 6)^ ^ 1 (mod 8) ist u. s. w., so lässt sich der zweite 

 Summand der ersten Zeile dieser Congruenz in die Form 

 bringen 



« [(a,b)^(c,d){d,a) (a,c) -\- {a,cY {d,a) («,&) (&,d) + (a.d)^ (a,&) (&,c) {c,a)'\ 

 = a [ia,b') (c,d) -r (a,c) (b,d) -f (a,d) (b,c)] , 



analog die drei folgenden Summanden. Da ferner 



[(a,b) — 1] [(b,e) — 1] [(c,a) — 1] = (mod 8) , 



SO ist 



(a,b)(b,c)(c,a) = {a,b){b,c) -f {b,c)(c,a) 4 (c,a)(a,b) — (a,b)—(b,c)—(c,a}-}-l 



(mod 8) 



und ebenso für die übrigen Glieder der letzten Zeile; 

 daher wird 



G = (a-\-b-\-c-\-d) [(a,b) (cd) + ia,c) ib,d)-\- (a,d) (b,c)] - 3 ( Z^ - 2 ZJ 



(mod 8) 



WO Hl die Summe der 6 Zahlen {a,h), (a,c), {a,d), (&, c), 

 {h, d), (c, d) bedeutet, 2^ ^^^r die Summe der Producte 

 derselben zu je zwei, die drei Producte aus je zwei 

 complementären wie {a, h) (c, d) ausgeschlossen. Da nun 



a + &-f c-|-cZ = o (mod4), (a,bXc,d)+(a,c)(b,d)-\-(a,d){b,c) = l (mod2), 

 SO ist schliesslich 



ö = a + 6 + c-[-d — S-Sa — SZi (mod 8) . 



Die linke Seite von (ß) geht ferner mit Hülfe der Be- 



dingungen H, nach welchen z. B. (^) = ("J^^'M) 



ist, und mit Hülfe des verallgemeinerten quadratischen 

 Reciprocitätssatzes über in 



T 



(- 1)^ , 



WO 



T = Z., — 2Z^ (mod 8) . 



