Meyer, mathematische Mittheilungen. 217 



Daher geht endlich (ß) über in 



a-{-b-i-c-^d = 4S^ (mod 8) 



oder, weil Z:.^ ^^s Summe von 12 ungeraden Zahlen ge- 

 rade ist, in 

 III. a-{'b + c + d = (mod 8) . 



Hieraus folgt: 



Ist abcd = S, 5 oder 7 (mod 8), so sind die 

 Bedingungen I und II für die Auflösbarkeit der 

 Gleichung (1) hinreichend; ist aber ahcd = 1 

 (mod 8), so sind sie zusammen mit der Bedingung 

 III hinreichend. 



Man erkennt leicht, dass die Congruenzen a&crf=l, 

 a-+-b-\-c-\-d=0 (mod 8) von den in Art. 2 angegebenen 

 Veränderungen der Gleichung (1) unabhängig sind. 



7. Wegen der in Art. 5 getroffenen Beschränkung 

 auf ?t=l, primitives O und eigentliche Darstellungen 

 von durch i^ bleibt es ungewiss, ob für ahcdE^l 

 (mod 8) die Bedingung III noth wendig ist. Dass dies 

 wirklich der Fall ist, ergibt sich daraus, dass aus den 

 Bedingungen 



abcd = l (mod 8), ax^ -\- hy- -\- cz- -{- du^ = 



immer die Congruenz III folgt. Da nämlich die 4 Zahlen 

 X, y, z, u keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so sind 

 sie entweder alle ungerade oder zwei gerade, zwei un- 

 gerade. Im ersten Fall ergibt sich III sofort, im zweiten 

 seien z. B. x, y ungerade, z, iL gerade. Dann ist a 4- & = 

 (mod 4). Je nachdem nun a + & = oder 4 (mod 8), 

 ist a 6 = — 1 oder 3 (mod 8); daher auch c d! = — 1 oder 3 

 (mod 8) und hinwieder c -h f ^ "^ oder 4 (mod 8) ; 

 folglich 



a + &-fc + f7 = (mod 8) ; w. z. b. w. 



