Fiedler, Geometrische Mittheilungen. 335 



im Falle IV bezeichnet dann ö = 2 den Berührungsknoten 

 und T = 8 die doppelt zählende Doppel-Tangente in diesem 

 und sechs andere Doppeltangenten, während im Falle VIII 

 ausser jener nur noch zwei andere Doppeltangenten exi- 

 stiren. 



2) Ein Doppelpunkt und ein Rückkehrpunkt erzeugen 

 durch ihre Vereinigung eine Schnabel- oder Knoten-Spitze, 

 deren Taugente einmal als Doppeltangente und einmal als 

 stationäre Tangente zählt; in den Fällen V, VIII, IX be- 

 zeichnet also diese Spitze je einen Doppel- und einen Rück- 

 kehrpunkt; im Falle V gibt es noch drei andere Doppel- 

 tangenten und neun andere Inflexionstangenten, im Falle 

 VIII noch eine und drei resp. und im Falle IX keine an- 

 dere Doppeltangente und nur noch eine stationäre Tan- 

 gente. 



3) Das Zusammenrücken von drei Doppelpunkten an 

 einer Stelle von endlicher Krümmung erzeugt einen Os- 

 culations knoten, eine Stelle der dreipunktigen Berüh- 

 rung oder Osculation zwischen zwei Aesten der Curve ; 

 die zugehörige Tangente zählt dreifach als Doppeltangente 

 und es gibt daher ausser ihr nur noch eine andere Doppel- 

 tangente (VII). 



4) Wenn in derselben Weise zwei Doppelpunkte und 

 ein stationärer Punkt zu Nachbarn werden, so entsteht 

 die B e r ü h r u n g s k n 1 e n s p i t z e , ein vierpunktiger Schnitt 

 der beiden Aeste der Curve, die sich in einer Spitze 

 verbinden ; die entsprechende Tangente zählt als Doppel- 

 tangente zweifach und es existirt daher (VIII) keine an- 

 dere Doppeltangente; und sie zählt als stationäre Tan- 

 gente einfach, so dass noch drei andere Intiexionen vor- 

 handen sind. 



Ueberdiess können in VII die drei Doppelpunkte als 



