340 Fiedler, Geometrische Mittlieilungen. 



punkten bedingt die vierfache Undulation den Uebergang 

 in einen doppelt zählenden Kegelschnitt oder überall Un- 

 dulation. Die Lage in der Tangente der Curve, längs 

 welcher die stationäre Ebene die Developpable berührt, 

 macht die Undalationsstelle des Bildes zu einer Spitze 

 zweiter Art oder Schnabelspitze. (»Darstellende Geom.« 

 a. a. 0. § 24, 2.) Für die Durchdringung ohne reelle Kegel 

 sind auch diese Specialitäten nicht möglich. 



Während nun dies Alles von der Durchdringung 

 ohne singulären Punkt gilt, erinnern wir jetzt, dass 

 dieselbe auch entweder selbst einen Doppelpunkt, und 

 zwar als Knoten oder isolirt, oder einen stationären 

 Punkt besitzen kann, der für jede Lage des Projections- 

 centrums ausser ihm selbst eine Doppel- resp. Rückkehr- 

 kante des projicierenden Kegels hervorruft. Es ist ersicht- 

 lich, dass die Fälle VII bis X sich hieran ansehliesen. Die 

 Curve mit Doppelpunkt wird für beliebige Lage des 

 Centrums einen projicierenden Kegel mit drei Doppelkanten 

 (VII) liefern, von denen stets wenigstens eine und dazu 

 die Verbindungsebene der beiden andern reell ist. Der 

 Lage des Centrums in der Tangentenfläche der Curve ent- 

 spricht der Uebergang von einer dieser Doppelkanten in 

 eine Kückkehrkante (VIII) und der Lage in einer Doppel- 

 curve der Tangentenfläche (»Darstell. Geom.« a. a. 0. § 25) 

 der Uebergang beider in Rückkehrkanten, also IX. Hat 

 die Curve aber selbst einen stationären Punkt, so er- 

 scheint sie von jedem Ceutrum von allgemeiner Lage aus 

 als Curve vierter Ordnung mit einer Spitze und zwei Dop- 

 pelpunkten, welche entweder selbst reell sind oder doch 

 eine reelle Verbindungsgerade haben (VIII). Aus dem 

 Punkte einer Tangente resp. dem Schnittpunkt von zwei 

 nicht benachbarten Tangenten erscheint sie aber als Curve 



