Notizen. 367 



Hiervon durchaus verschieden verhält es sich mit der 

 zweiten (abgeleiteten) Gleichung des Systems. Dieselbe ändert 

 sich nämlich nicht, wenn man an Stelle von f, x, y, z setzt 

 t-,^-^ Qi-,y -\- QV-, ' + e J; diese Gleichung stellt einen Strahlen- 

 complex dar. 



Die Aufgabe, beide Gleichungen des Systems durch die 

 Gleichungen zweier Complexe zu ersetzen, welche das System 

 enthalten, ist insofern eine unbestimmte, als die erste Glei- 

 chung auf unendlich viele solcher Complexe führt, je nach Wahl 

 der Fläche, auf welcher alle Ausgangspunkte i, .r, y, z der 

 Strahlen liegen sollen. Als solche Fläche kann man z. B. eine 

 Coordinatenebcne, etwa a; = 0, annehmen. Alsdann erhält man 

 aus beiden Gleichungen des Systems die Gleichungen zweier 

 Complexe durch folgendes Verfahren. Man substituire in 

 die Kummer'schen Gleichungen 



t:x:y: 2 =pt3: o-.psi'.pii, ^ : V- ^ = Pn ■- Pn '• Pi4 , 



u:v: IC = p3^ : pt^ : ^^^3 



so gehen sie über in die zweier Complexe, welche 



das System im Allgemeinen als unvollständigen 



Schnitt enthalten. 



Die Gerade t : x : y : z, | : »j : ^ kann nämlich betrachtet 

 werden als die Verbindungslinie der Punkte mit den Coordinaten 

 «, X , y , z 



<, a;-He|, y-\-Qr], z-^Qt, 

 hat also die sechs Coordinaten 



(1) kpij = tQ^ ,^Pis=tQV .Hhi^tQi 



(2) lpi^ =Q(y^ — 27]), ?.pi2 = Q(2^ — oc^), ^p-i3 = 9{xn — yi)-, 

 unter A einen Proportionalitätsfactor verstanden. — (1) zeigt, 

 dass I : »7 ; ^ = i^ia : l>i3 : |Ji4 . Wählt man den Ausgangspunkt 

 in a; = 0, so ergeben die Gleichungen (2) 



^P3i= y9^— ZQV, ^Pii = 2Q^, ^P23 = — l/Q^, 

 und hieraus folgt mit Hülfe von (1) 



(3) tl^si = ypn — ZPlS-: iPii=^Pl2-> tPii= — yV\i- 



Aus (3) folgt für die metrischen Coordinaten des Anfangs- 

 punktes der Geraden : ^ = _P23_Ps2 z_^Vi^ ^^^ ^jjg ^^^^^ 



* P\% P12 t J>,2 



Gleichung ergiebt die bekannte Identität, welche zwischen den 

 sechs Coordinaten Pj^ besteht. 



