Gubler, Darstellung der Besselschen Function. 131 



ursprüngliche Bessel'sche dadurch, dass er n jede be- 

 liebige Zahl bedeuten lässt. Die durch die unendliche 

 Reihe definirte Function befriedigt unter jeder Voraus- 

 setzung für n die Differentialgleichung (a). Integralaus- 

 drücke für diese allgemeine Function haben auf ver- 

 schiedenen Wegen die Herren Schläfli, Hankel und 

 So n ine entwickelt. Die hierauf bezügliche Literatur habe 

 ich, so weit sie mir bekannt ist, sorgfältig zitirt. Mein 

 hochverehrter Lehrer, Herr Professor Schläfli, hat in 

 einer Vorlesung über Bessel'sche Functionen, die ich im 

 Sommer 1877 hörte, alle wesentlichen Integralformen 

 durch Verwandlung der Summe, mittelst welcher die 

 Function definirt wird, in bestimmte Integrale gewonnen, 

 ähnlich wie er dies bereits im dritten Band der «Mathe- 

 matischen Annalen» pag. 148 für eine Integralform ge- 

 than hatte. 



Die nachfolgenden Entwicklungen wollen darlegen, 

 wie sämmtliche Integralformen mit Nothwendigkeit aus 

 der Differentialgleichung hervorgehen; nur auf diese Weise 

 erscheinen sie naturgemäss und wird ihr innerer Zusammen- 

 hang ins richtige Licht gesetzt. 



Die Differentialgleichung kann nicht erledigt werden, 

 ohne dass man eine complementäre Function beizieht. 

 Ich habe die Schläflische ^-Function gewählt. 

 Neumanns complementäre Besselsche Function ist für 

 einen ganzen nullen oder positiven Parameter w: 



Y{x) = ^ l(x)+[log 2 + r'(l)] J(rr) . 



Die eben so bezeichnete, aber für einen beliebigen posi- 

 tiven Parameter (w = a) definirte complementäre Function 



Hankels ist — ^^ • e''^" -Rix). 

 cos an ^ ■' 



