Gubler, Darstellung der Besselschen Function. 135 



eine Relation, welche je zwei unmittelbar aufeinander- 

 folgende der Functionen / mit einander verbindet. 



4) Man kann die Relation (7) benutzen um eine be- 

 liebige Besselsche Function durch zwei aufeinanderfolgende 

 derselben Reihe, d. h, derjenigen J-Functionen, deren 

 Parameter eine arithmetische Reihe mit der Differenz 1 

 bilden, auszudrücken. Die Formel, welche diese Reduc- 

 tion leistet, hat wohl Herr Lommel*) zuerst bekannt ge- 

 geben. Setzt man zunächst a — 1 statt a, so gibt (7) 



a n a—\ a — 2 



J{x) = (a — 1) — J{x) — J{x) . 



a o— 1 a—2 a — 3 



Lässt man nun J{x) stehen und drückt J durch J , J , 



a-2 a-3 a-4 



dann J durch J , J aus u. s. f., so erhält man schliesslich 



a a—m a—m—1 



J{x) = A^ J{x) — 4^_i J{x) , (9) 



1<Z 



und A^_i sich von Ä„^ nur dadurch unterscheidet, dass 



m durch m — 1 ersetzt ist. Die Ä sind ihrer Entstehung 



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 nach ganze Functionen von — ; die Entwicklungen müssen 



daher abbrechen, wenn der Exponent von — negativ wird. 



Die allgemeine Gültigkeit der Gleichung (9) wird durch 



den Schluss von m auf w -f- 1 bewiesen. Angenommen 



die Formel (9) sei bis zu einem gewissen Werthe von w 



als richtig befunden, so substituire man darin 



a—m „a—m—1 o— m— 2 



J{x) = {a — m — 1) — J{x) — J(x) . 



*) Lommel, Studien über die Besselschen Functionen. 1868. p. 3. 



