144 Gubler, Darstellung der Besselschen Function. 



Die Function wird im Nullpunkt logarithmisch und 

 wenn nicht n = auch rational unstetig. 



9) Es bleibt zu zeigen, dass die j^- Function die- 

 selben Relationen darbietet wie die J-Function. 



Aus (16) bekommt man das System 



a -, — a a 



cotg a 7t ■ J(x) — -. J(x) = K(x) 



^ a — a —a 



-T- - J(x) — cotg an • J(x) = K(x) , 

 sin a jr '^ -^ ^ ^ ^ ^ -" 



dessen Determinant — cotg^ajr-l--r-^ — = 1 ist. 

 Dasselbe gibt 



—a a 



x/ N K(x) — COS an K(x) 

 J{x) = — ^^ — -. ^— . 



^ ^ sin «TT 



Da nun, wenn a = n ganz und positiv ist, sin a3r = 



a 



wird, J{x) aber einen endlichen Werth beibehält, so muss 



— a a 



auch K{x) — cos ajr K{x) = sein. Daraus folgt sofort 



(o=n) 

 —n n 



K{x) = (-lf K{x) (18) 



Lässt man in (4) und (5) « in — a übergehen, so kommt 



X -j — aj J{x) — X J{x) (4a), ix-^ — h « ) J{x) =-x J{x) (5at 



Die zwei Gleichungen (4) und (5 a) resp. mit cotg an 

 multiplizirt und dann addirt geben 



sin ait 



(^ i^ + ^) (^^<^s « ^ -^(^^ - ^ ^<^^) ) 



/ a-l i -(«-1) x 



= X (cotg a 7c J{x) + ^^^ J {x)) 



= X (cotg {a-\)n J{x) - -—^^z^ Jix)) , 



