170 Gubler, Darstellung der Besselscheii Function. 



J{x)-\-iK{x)=-j^ie^ ^t dt (51) 



J{x) + i K{x) = -:^ e ' 't dt (52)*) 



Setzt man i in — i um, so bekommt man die con- 

 jugirten Formeln; der Integrationsweg ist zum obigen 

 in Bezug auf die reelle Achse symmetrisch. Lässt man 

 in den conjugirten Formeln rechts die Minuszeichen weg 

 und kehrt dafür die Wege um, addirt und dividirt mit 2, 

 so erhält man als reelle Componenten (48) und (49). Um 

 (51) und (52) in gewöhnliche Integrale überzuführen, lasse 

 man t gerade von nach 1, dann die nördliche Hälfte 

 des Einheitskreises nach — 1 durchlaufen, endlich von 

 — 1 gerade nach dem Westpuncte gehen. 



20) Die Integrale der beiden Typen können ineinander 

 übergeführt werden, wie Jacobi**), Schläfli***) und 

 Soninef) gezeigt haben. Den schönen Beweis Sonines 

 fügen wir hier an, indem wir das Integral (49') in die 

 Form (37a) überführen. 



Wenn a positiv ist und c irgend eine positive Zahl 



*) Vergleiche: Annali di Matematica Serie IP tomo VI'', 

 pag. 17. Schläfli: Sull'uso delle linee lungo le quali il valore 

 assoluto di una funzione e costante pag. 1—20. Ferner Sonine: 

 Math. Annalen. Bd. 16, pag. 24. 

 **) Grelles Journal Bd. 15. 

 ***) Annali di Matematica Serie II* tomo V°. pag. 199 u. f. 

 t) Mathematische Annalen von Klein und Mayer. Bd XVI, 

 pag. 25—27. 



