Beck, Element. Herleitung d. Plücker'schen P'ormeln. 175 



niing einen Doppelpunkt erhält, so muss sie in zwei gerade 

 Linien zerfallen, und durch einen beliebigen Punkt geht 

 an sie keine eigentliche Tangente mehr, folglich reprä- 

 sentirt die Linie nach dem Doppelpunkt zwei uneigent- 

 liche Tangenten (1). 



3) Wenn eine Curve wter Ordnung in m gerade 

 Linien zerfällt, so gehen durch einen beliebigen Punkt an 

 sie keine eigentlichen Tangenten mehr, dagegen nach (2) 

 2 • ~ m (m — 1) uneigentliche Tangenten. Für eine Curve 

 ohne Doppelpunkte ist also nach dem Princip von der 

 Erhaltung der Anzahl 



n = m (m — 1) 



und für eine Curve mit cl Doppelpunkten ist (2) 

 n = m {m — 1) — 2cl. 



4) Ein Ptückkehrpunkt vermindert die Zahl der eigent- 

 lichen Tangenten, die durch einen beliebigen Punkt gehen, 

 um drei. 



Beweis: Eine Curve dritter Ordnung ohne Doppel- 

 oder Rückkehrpunkt ist nach (3) von der Classe 6. Be- 

 sitzt sie einen Rückkehrpunkt, so können durch den- 

 selben ausser der Rückkehrtangente keine weitern Tan- 

 genten gelegt werden, da solche nach (b) mehr als drei 

 Curvenpunkte enthielten. Unter Anwendung von (b) folgt 

 daraus n — 3 = 0. Durch den Rückkehrpuukt ist also 

 die Classenzähl von 6 auf 3 vermindert worden, d. h. die 

 Linie nach dem Rückkehrpunkt repräsentirt drei uneigent- 

 liche Tangenten. 



Besitzt also eine Curve cl Doppelpunkte und k Rück- 

 kehrpunkte, so ist 



n = m {m — 1) — 2^ — 3^-. 



