176 Beck, Element. Herleitung d. Plücker'schen Formeln. 



Die dualistisch entsprechende Betrachtung würde ergeben : 



m = n {n — 1) — 2 t — 3i 

 (i= Anzahl der Doppeltangenten, i=Anzahlder Inflexionen). 



5) Wenn eine Curve einen Doppelpunkt hat, so treten 

 uneigentliche Doppeltangenten auf, welche in die vom 

 Doppelpunkt an die Curve gehenden Tangenten fallen. 

 Aus (2) folgt, dass jede solche Tangente für zwei Doppel- 

 tangenten gezählt werden muss, und da die Classenzahl 

 = m (m — 1) — 2, also die Zahl der vom Doppelpunkt 

 zu ziehenden Tangenten nach (c) = m (m — 1) — 6 ist, 

 so erzeugt der Doppelpunkt 2 [m {m — 1) — 6] uneigent- 

 liche Doppeltangenten. Hat die Curve d Doppelpunkte, 

 so dass die Classe = m (m — 1) — 2 cl wird, so ist die 

 Zahl der uneigentlichen Doppeltangenten der erwähnten 

 Art =^ 2 d [m {m — 1) — 2 d — 4]. Hiezu kommen aber 

 noch uneigentliche Doppeltangenten zweiter Art, welche in 

 die Verbindungslinien von je zwei Doppelpunkten fallen 

 und welche offenbar viermal gezählt werden müssen. 



Wenn eine Curve einen Rückkehrpunkt hat, so muss 

 jede von ihm aus an die Curve gelegte Tangente nach 

 (4) für drei uneigentliche Doppeltangenten zählen. Sind 

 Doppel- und Rückkehrpunkte vorhanden, so sind offenbar 

 in der Verbindungslinie eines Doppelpunktes und eines 

 Rückkehrpunktes 6 und in der Verbindungslinie zweier 

 Rückkehrpunkte 9 uneigentliche Doppeltangenten ver- 

 einigt. Da die Classenzahl = m (m — 1) — 2d — 3fe ist, 

 so erhält man als Gesammtzahl der uneigentlichen Doppel- 

 tangenten (b, c) 



2d[mim-l)-2d-U-4:]^4.\d{d-l)^Bk[m{m-l)-2d-Sk-S] 



-h^-\kik-l)^Qd-k. 



