Beck, Element. Herleitung d. Plücker'schen Formeln. 177 

 = 2d[m{m-l )-6] -2did-\) + 3k [m(m-l )-6] -jk(k-l)-Qd -k. 



= [m{m-l)-6]i2d-i-3k)-2d{d-l)-jk(k-l)-Qd-kr) 



6) Um nun die Zahl der eigentlichen Doppeltangenten 

 einer Curve zu bestimmen, nehmen wir zunächst an, ni 

 sei eine gerade Zahl, m = 2p, und lassen die Curve in 

 }) Curven zweiter Ordnung zerfallen. Es gibt dann 

 2p (p — 1) eigentliche Doppeltangenten, die gemeinschaft- 

 lichen Tangenten je zweier Kegelschnitte, und ausserdem 

 uneigentliche Doppeltangenten, deren Anzahl aus (5) ge- 

 funden wird, wenn man einsetzt m=2p, k=0, d^2p {])-!). 

 Die Summe dieser eigentlichen und uneigentlichen Doppel- 

 tangenten muss die Anzahl der eigentlichen Doppeltan- 

 genten sein, welche eine Curve von der Ordnung 2p ohne 

 Doppel- und Rückkehrpunkte besitzt. Man erhält: 



t=2p{2)-l)-\-[2p{2p-\)-Q]-4pi2)-l)-ip{p-l)[2p{p-l)-l] 

 ==2pip-\){ip'-9), 

 oder wenn man wieder m einführt: 



t = j m (m-2) (m^-9) . 



Ist zweitens m eine ungerade Zahl, so setzen wir 

 m = 2q-]-S und lassen die Curve in q Curven zweiter 

 Ordnung und eine Curve dritter Ordnung ohne Doppel- 

 punkt und Rückkehrpunkt zerfallen. Da letztere keine 

 Doppeltangente haben kann, und ihre Classenzahl = 6 

 ist, so ist die Zahl der eigentlichen Doppeltangenten der 

 Gesammtcurve = 2q(q-l)-\~12q. Die uneigentlichen 

 Tangenten ergeben sich aus (5), wenn wir einsetzen: 



^,t = 2q-i-3, k = 0, rf = 22(g- l) + 6(/. 



*) Vergl. Plücker, Theorie der algebr. Curven, S. 210. 



XXXIII. 2. 12 



