370 ScbläQi, Belrachlungen über Hug's Mathematik. 



Bei der Addition und Miilliplikalion hat es freilich 

 noch keine Gefahr, ihre Inversionen geradezu als 

 Definitionen für die negativen und gebrochenen Zahlen 

 zu gehrauchen; al)er es ist doch besser, diese noch 

 eiofens zu construiren. Sobald Summe und Unter- 

 schied unter einen gemeinsamen Begriff, den des Ag- 

 gregats, gebracht sind, bei dem die P'olge eineslheils 

 im ursprünglichen additiven, Iheils im sublractiven 

 Sinne zu fassenden Glieder gleichgültig ist, so ist 

 auch der Begriff der Zahl dahin erweitert, dass er 

 nicht nur die natürlichen, fortan positive ganze Zahlen 

 geheissenen 1, 2, 3, . . ., sondern auch die Null und 

 die negativen ganzen Zahlen umfasst. Nun enthält 

 die Zahl eine Abstraction mehr als auf der natürlichen 

 Stufe. Es wird nämlich nicht bloss von den Dingen, 

 welche gezählt werden, abstrahirt, sondern es wird 

 noch von dem Unbestimmten abstrahirt, zu welchem 

 die Zahl addirt oder von welchem sie subtrahirt wer- 

 den kann, dafür aber das Addirtvverden oder Sublra- 

 hirlwerden in ihre Eigenschaft aufgenommen. Das 

 erste geschieht immer noch, wie ursprünglich, in der 

 Form -+- 1 + 1 + 1, das zweite aber eigentlich in der 

 Form — 1 — 1 — 1 und erst secundär in der Form 

 — (l 4-1 -hl). Aus der Inversion x + B = ^ geht 

 zwar rr = 5 — 3 hervor; aber die Dnfinition von —3 

 unterscheidet sich von dieser Inversion durch die 

 Auffassung der genannten Zahl als — 1 — 1 — 1. 



Die durch die Forderung x + oc -h x = ^ ausge- 

 drückte Inversion schlicsst nicht unmittelbar die De- 

 finition des Bruchs x in sich, sondern die Aufgabe 

 muss zuerst auf die Hülfsgieichung 3^=1 zurückge- 

 führt werden, bei der man sich zufrieden geben muss, 

 die blosse Forderung als Definition hinzunehmen; dann 



