Scbläfli, Betrachtungen über Hug's Mathematik. 371 



kann man aber x construiren, es ist x==5y, weil 

 15^ = 5 = 3 x ist. 



Durch ilie Inversion der Addition und Multipli- 

 cation sind wir zum ßegrilTder rationalen Zaiil geführt 

 worden. Nun können Inversionen, wie sie z. B. in 

 der Aufgabe rx = D enthalten sind, uns wolii ver- 

 anlassen, zum Begriff der incommensurablen Zahl 

 überzugehen, enthalten aber an sich nur eine zahllose 

 Menge von Forderungen, die nur das gemein haben, 

 dass sie innerhalb des vorhergehenden Gebiets nicht 

 erfüllt werden können, und die selbst, wenn wir sie 

 mittelst neuer Fielionen einzeln erfüllt hatten , uns 

 doch nicht diejenige allgemeine Vorstellung- von der 

 incommensurablen Zahl geben würden, welche wir 

 wirklich haben. An die vorhin schon gemachte Fic- 

 tion der Stammbrüche anknüpfend, müssen wir viel- 

 mehr die endlose Theilbarkeit von 1 fordern, um da- 

 mit die Vorstellung- einer stetig wachsenden Zahl, 

 einer Variablen, hervorzubringen. Die elementarste 

 Darstellung derselben geschieht in der Form A-^Aix 

 -\-A2x2 + A:,x^ + ..., wo X ein positiver Stamm- 

 bruch, z. B. tq, und alle CoefTicienten Ai^ A2, A^, . . . 



nulle oder positive ganze Zahlen sind, die eine ge- 

 gebene Grenze a, z. B. 9, nicht überschreiten, wah- 

 rend .1 irgend eine positive rationale Zahl, z. B. eine 

 ganze, sein darf. Dann kann man zeigen, dass der 



Werth dieser Reihe positiv und kleiner als A — a+ ^— 



ist, im besondern, dass jeder endlose Declmaihruch 

 einen endlichen Werth hat: und ferner, dass dieser 

 endliche Werth, wenn der Decimalbruch nicht perio- 

 disch ist, d. h. wenn er die Form einer fallenden 

 rationalen geometrischen Reihe nicht annimmt, nicht 



