Scblälli, Betrachtungen über Iliig's Mathematik. 407 



bene Punkte verbindenden Geraden ihr wesentlichstes 

 Merkmal. Die Existenz dieser einzigen Linie, welche 

 durch die zwei Punkte, die sie verbinden soll, einfach 

 bestimmt ist, kann freilich nicht bewiesen werden; 

 Aber mit Hülfe derselben kann die andere Eigenschaft, 

 die des kürzesten Weges, wirklich bewiesen werden; 

 und eine Eigenschaft, die bewiesen werden kann und die 

 Kenntniss des zu definirenden schon voraus setzt, darf 

 nicht als Definition gebraucht werden. 



(S. 472.) Bei der harmonischen Theilung ist das 

 Doppelverhaltniss — 1 und nicht 1. Wenn man zwei 

 zusammengehörige Punkte mit einander vertauscht, so 



geht ein beliebiges Doppelverhaltniss a in - über, das 



harmonische aber bleibt sich gleich, d. h. es ist der 

 umgekehrte Werlh seiner selbst, [st der Werth eines 

 Doppelverhaltnisses 1, so folgt nothwendig, duss zwei 

 zusammengehörige Punkte desselben zusammenfallen. 

 Es ist eine Verletzung der analytischen Consequenz, 

 wenn man hier den ßegrilF des JNegativen vermeidet. 

 Und ich begreife nicht, mit welchem Recht man dieses 

 thun kann, wenn man Strecken miteinander vergleicht, 

 die auf einer und derselben Geraden von den näm- 

 lichen Anfangspunkten aus gezählt werden. Hätte der 

 Verfasser — 1 als den Werth des harmonischen Dop- 

 pelverhältnisses anerkannt, so hätte er S. 475 die 

 harmonischen Eigenschaften des Vierseits viel klarer 

 und kürzer beweisen können. Er hätte nur gesagt: 

 aus dem Pol b ist (hyad) projektivisch mit (/tiVcj, und 

 aus de!7i Pol f ist {hiec) projektivisch mit (hyda); folg- 

 ist(7»yff(/,) projektivisch imi(fn/da\ also harmonisch getheilt. 

 (S. 490.) Denkt man sich im Räume eine Gerade 

 und einen Punkt ausserhalb derselben, so bilden alle 



