Notizen. 209 



Der zweile Ausdruck enistoht aus dem orslcn , worin man a, 

 u, fp resp. in — a, ,t — u, n — (^umsetzt. Entwickeil man hier 

 nach steigenden Potenzen von a, so erhält man obige zwei Aus- 

 drücke für X„. 



Wenn man mittelst beider Formeln die Ausdrücke für 

 A'„ + Xn — 1 und J„— A'n — 1 bildet, und dann wieder A'n— i 

 auf passende Weise eliminirt, so ergibt sich aus denselben 



' ■ QP . fp . 1 



sin — dcp (*n cos -^ dcp I 



2 f-^ sin — dcp rr 



-In = — ( I COS nco ^ -h I 



^ iJu y9.(rnSiL-rnsrn\ Jo 



Y2.{cosu-coscp) *^ Y'2[cus cp-cosu)^ 



2 ) C^ cos~-dq) nu 



— / I sinncp ^ — 1 sin 



\Ju Y'9.frn!!ti-rnxrn) *J 



COS— dcp /•« Sin — dcp 



Yl[cosu-coscp) *^ Y2[coscp- cosu)\ 



welchen zwei Ausdrücken, da sie nur für ein positives n gel- 

 len, noch 



S. cp , cp , \ 



/»•T sin -^ dcp /»w cos — dcp I 



^o" -j \ I "*" I / 



1 1' u j^2 {cos u — cos cp) ^ Yl (cos cp — cos u) \ 



Am Schlüsse dieses Artikels möchte ich an die oben ge- 

 brauchte Hülfsformel, welche für jedes beliebige m eine Enl- 



wickluns; von nach steisrenden Potenzen von 5iJi«qibl, 



^ cos u " 



die für jeden reellen Werth von u, der nicht ein ungerades 



Vielfaches von -^- ist, convergirt, eine Bemerkung anknüpfen. 



Der Beweis dieser Formel kann nämlich ohne Anwendung der 

 Difrerenlialrechnung etwa so geführt werden. 



Es sei f[u) = A„ -\- AiU + A^u- + . . . eine Funktion von u, 

 die, wenn nur u klein genug angenommen wird, nach stei- 

 genden Potenzen von u entwickelt werden kann. Gebrauchen 

 wir nun die Abkürzung [l"\ um zu sagen »C oef f ici e n t von 

 (" in der Entwicklung von«, so haben wir die allgemeine 

 Formol 



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